2.4　鲁棒控制

本节将2.3节中与稳定性有关的结论推广到时滞相关/无关的镇定设计。

考虑如下的标称线性控制系统

首先设计一个无记忆的状态反馈控制器

来镇定系统（2.4.1），这里Ki∈Rm×n是常数增益矩阵。并且，将所获得的关于标称系统的结论推广到如下具有时变结构的不确定系统

定理2.4.1：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0、W>0，以及合适维数的矩阵Pi（i=1,2,…,N），使得如下的LMI成立

式中

则标称系统（2.4.1）是通过状态反馈可镇定的。当上面的条件成立时，系统（2.4.1）的一个镇定控制器可以表示为

证明：用AKi=Ai+BiKi替换式（2.3.1b）中的Ai，可以得到

这里

根据定理2.3.1，如果存在适当维数的对称、正定矩阵Q、Z和矩阵Pi（i=1,2,…,N）满足式（2.3.1a）和式（2.4.5），那么系统（2.4.1）是随机可容许的。

根据定理2.3.1的证明，可以得知是可逆的，假设。

分别用和左乘和右乘式（2.3.1a）和式（2.4.5），得式（2.4.4a）和式（2.4.6）

式中

由于Q>0、Z>0，因此根据引理2.2.3，对于所有的i=1,2,…,N，可以得到

如果对于所有的，式（2.4.11）都成立

根据式（2.4.11）可得

式中，和定义于式（2.4.4c）。

注意到式（2.4.11）和式（2.4.4b）是等价的，设Yi=KiLi，W=Z-1，根据式（2.4.7）～式（2.4.12）并利用Schur引理，可知式（2.4.4b）与式（2.4.4c）是式（2.4.6）成立的充分条件。定理2.4.1证明完毕。

定理2.4.1对于广义时滞Markov跳变时滞系统（2.4.1）提出了随机可镇定的充分条件。如果设定定理2.4.1中的矩阵（ε是一充分小的正数），利用Schur引理，那么定理2.4.1恰好就是时滞无关的随机可容许准则，通过一些矩阵变换也可以得到文献[140]中定理3.1的结果。

推论2.4.1：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0，以及合适维数的矩阵Pi（i=1,2,…,N），使得式（2.4.4a）、式（2.4.4b）和如下的LMI成立

式中

则标称系统（2.4.1）是通过状态反馈可镇定的。当上面的条件成立时，系统（2.4.1）的一个镇定控制器可以表示为

下面将定理2.4.1和推论2.4.1分别推广到具有时变结构不确定的系统（2.4.3），有如下定理。

定理2.4.2：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0、W>0，以及合适维数的矩阵Pi（i=1,2,…,N），使得式（2.4.4a）、式（2.4.4b）及如下的LMI成立

式中

则系统（2.4.3）是通过状态反馈可镇定的。当上面的条件成立时，系统（2.4.3）的一个镇定控制器可以表示为

推论2.4.2：给定标量d>0，如果存在正定矩阵Q>0，以及合适维数的矩阵Pi（i=1,2,…,N），使得式（2.4.4a）、式（2.4.4b）及如下的LMI成立

式中

则系统（2.4.3）是通过状态反馈可镇定的。当上面的条件成立时，系统（2.4.3）的一个镇定控制器可以表示为