2.5 机器人的位姿问题
机器人的位姿主要是指机器人手部在空间的位置和姿态，机器人的位姿问题包含以下两方面问题。
①正向运动学问题。当给定机器人机构各关节运动变量和构件尺寸参数后，如何确定机器人机构末端手部的位置和姿态，这类问题通常称为机器人机构的正向运动学问题。
②反向运动学问题。当给定机器人手部在基准坐标系中的空间位置和姿态参数后，如何确定各关节的运动变量和各构件的尺寸参数，这类问题通常称为机器人机构的反向运动学问题。
通常正向运动学问题用于对机器人进行运动分析和运动效果的检验，而反向运动学问题与机器人的设计和控制有密切关系。
2.5.1 机器人坐标系
机器人的各种坐标系都由正交的右手定则来决定，如图2-36所示。将围绕平行于X、Y、Z轴线的各轴的转动分别定义为A、B、C。A、B、C分别以X、Y、Z正方向上右手螺旋前进的方向为正方向，如图2-37所示。
图2-36 右手坐标系
图2-37 转动坐标系
（1）全局坐标系
全局坐标系是一种通用的坐标系，由X、Y、Z轴所定义。其中机器人的所有运动都是由沿三个主轴方向的同时运动产生的。这种坐标系下，不管机器人处于何种位姿，运动均由三个坐标轴表示而成。这一坐标系通常用来定义机器人相对于其他物体的运动、与机器人通信的其他部件以及机器人的运动路径。
（2）关节坐标系
关节坐标系是用来表示机器人每一个独立关节运动的坐标系。机器人的所有运动都可以分解为各个关节单独的运动，这样每个关节可以单独控制，每个关节的运动可以用单独的关节坐标系表示。
（3）工具坐标系
工具坐标系是用来描述机器人末端执行器相对于固连在末端执行器上的坐标系的运动。由于是随着机器人一起运动的，工具坐标系是一个活动的坐标系，它随着机器人的运动而不断改变，因此工具坐标系所表示的运动也不相同，这取决于机器人手臂的位置以及工具坐标系的姿态。图2-38所示为3种坐标系示意图。
图2-38 坐标系示意图
2.5.2 圆柱坐标式主体机构位姿问题举例
（1）正向运动学问题求解
图2-39 圆柱坐标式主体机构的组成示意图
图2-39所示为圆柱坐标式主体机构的组成示意图。构件2与机座1组成圆柱副，构件2相对构件1可以输入转动θ和移动h；构件3与构件2组成移动副，构件3相对构件2只可输入一个移动r。
3个输入变量为：①转角θ，从X轴开始度量，对着Z轴观察逆时针转向为正；②位移h，从坐标原点沿Z轴度量；③位移r，手部中心点P至Z轴的距离。
确定手部中心点P在基准坐标系中相应的位置坐标xP、yP、zP。由图2-39中的几何关系可得：
xP=rcosθ
yP=rsinθ
zP=h
用列矩阵表示为：
（2-1）
将给定的θ、h、r三个变量瞬时值代入式（2-1），即可解出xP、yP、zP，从而确定手部中心点P的瞬时空间位置。
（2）反向运动学问题求解
给定手部中心点P在空间中的位置xP、yP、zP，确定应输入的关节变量θ、h、r各值。为求逆解，可联立式（2-1）中前两式，得：
（2-2）
再将式（2-2）代回式（2-1）可得：
（2-3）
将给定的xP、yP、zP值代入式（2-2）和式（2-3），即可解出应输入的关节变量θ、r和h。
2.5.3 球坐标式主体机构位姿问题举例
图2-40所示为球坐标式主体机构的组成示意图。立柱2与机座1和构件3分别组成转动副，因此立柱2相对机座1、构件3相对立柱2可输入转动（θ，φ）；构件4与构件3组成移动副，构件4相对构件3可输入一个移动r。
图2-40 球坐标式主体机构的组成示意图
1—机座；2—立柱；3，4—构件
（1）正向运动学问题求解
三个输入变量为：①转角θ，从X轴开始度量，对着Z轴观察逆时针转向为正；②转角φ，从平行于OXY平面内开始度量，朝Z轴正方向转动为正；③位移r，手部中心点P至转动中心A的距离。
确定手部中心点P在基准坐标系中相应的位置坐标xP、yP、zP。由图2-40中的几何关系可得：
（2-4）
式中的h为已知的立柱长度尺寸，用列矩阵表示为：
（2-5）
将给定的θ、φ、r三个变量瞬时值代入式（2-4），即可解出xP、yP、zP，从而确定手部中心点P的瞬时空间位置。
（2）反向运动学问题求解
给定手部中心点P在空间的点位置xP、yP、zP，确定应输入的关节变量θ、φ、r各值。由图2-40中的几何关系可得：
（2-6）
根据式（2-6）即可在给定xP、yP、zP的情况下，解出应输入的关节变量θ、φ、r。
以上对机器人主体机构的位置分析的方法，仅限于三自由度（不计腕部自由度）机构，且只做手部位置的正、逆解，而没有做姿态的正、逆解，目的是使读者对机器人机构的运动学问题有个最基础的了解。对于自由度较多且计入腕部运动的机器人机构，尤其是常见的空间开链关节式机器人，对其进行位姿的正、逆解运算是十分繁复的，其逆解往往具有多解性。