一、正态分布

正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布，在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。

设连续随机变量x概率密度为：

则称x服从正态分布，记为，所确定的曲线叫作正态曲线（图2-14）。

特别地，当时，我们称之为标准正态分布，记为。概率密度函数为：

1.正态分布密度函数的特征

（1）关于对称。即正态分布以均数为中心，左右对称，逐渐降低，两端永不与横轴相交。

（2）正态曲线下面积分布有一定规律（图2-15）；无论取什么值，正态曲线与横轴间的面积总等于1。

（3）正态分布有两个参数，即均数和标准差。是位置参数，是变异度参数（形状参数）。

当恒定时，越大，则曲线沿x轴越向右移动；反之，越小，曲线沿x轴越向左移动（图2-11）。

当恒定时，越大，表示x的取值越分散，曲线越“胖”； 越小，x的取值越集中在附近，曲线越“瘦”（图2-11）。

2.正态分布的概率计算

累积正态分布当时的概率，记为

这个积分很难计算。因此，通过变量代换的方法，令

则

标准正态分布曲线下，左侧任一区间的面积可以通过附录1求得，通过查表可以得到z值左侧的面积（图2-16）。

标准正态分布在实际中应用极为广泛，对任何参数和的正态分布，都可以通过一个简单的变量变换转化成标准正态分布。

例如：某项目研究变量x服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。试求时的概率。

附录1中给出的仅仅是左侧负值的概率。我们可以利用正态分布的面积特征，得到其他特殊情况的概率：

有时我们不仅仅希望得到概率值，还希望能够得到概率对应的随机变量的取值，例如：假设，我们希望求得值，其中。

即，查附录1可知，，因此

正态分布有很多性质，其中就包括独立正态分布随机变量的线性组合。

如果是独立的正态分布随机变量，它们的均数为，方差为，则

也服从正态分布，并且对应的均数和方差为

其中是常数。

中心极限定理：正态分布被认为是最适合描述随机变量的一种分布。在后面，我们主要讨论如何去检验这种说法的合理性。一般而言，中心极限定理是变量近似正态分布的原理所在。

假设是独立的随机变量，它们的均数为，方差为，如果

则

当时近似服从标准正态分布。

中心极限定理说明n个独立随机变量的和近似服从正态分布，不论它们的分布如何，这个结论都是成立的。当n逐渐增大时，近似的效果越来越好。在很多的实例中，可能要求n小一些比较好，而有些则要求n比较大一些才会获得满意的近似效果。一般而言，如果是独立分布，并且并非来自非正态分布，则此时中心极限定理要求。这些条件在工程质量控制问题中常常出现。