1.3.3 对偶式

在1.3.1节所列的等价关系式中，公式2）～9）都是由两个公式组成的，这些成对出现的公式称为对偶式。对偶式的定义如下。

定义1.3.3 在仅含有联结词、∧、∨的公式A中，将其中的∧换成∨、∨换成∧、1（或T）换成0（或F）、0（或F）换成1（或T），其他符号不变，得到的公式称为A的对偶式，记为A*。

由定义可以看出，A*的对偶式就是A，也就是对偶式是相互的。

例如，p∨q和p∧q、和和都互为对偶式。由于，而和互为对偶式，所以p↑q和p↓q也互为对偶式。

设A（p₁，p₂，…，p_n）和A*（p₁，p₂，…，p_n）互为对偶式，其中p₁，p₂，…，p_n是出现在A和A*中的全部的命题变元，则

例如，假设A（p，q）⇔p∧q，则

A*（p，q）⇔p∨q

而

所以

类似地，有

定理1.3.1 设A和B为两个命题公式，A和A*、B和B*互为对偶式，若A⇔B，则A*⇔B*。

证明 因为

若

A（p₁，p₂，…，p_n）⇔B（p₁，p₂，…，p_n）

则

即

则

A*（p₁，p₂，…，p_n）⇔B*（p₁，p₂，…，p_n）

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例1.3.9 求公式的对偶式。

解 公式A的对偶式A*为

公式是重言式，而1的对偶式是0，所以，由对偶原理可以直接得知重言式A的对偶式A*是矛盾式。