1.2.5 1980年以后的时期
反馈控制理论在20世纪80年代还是经历了重大的变化，无论是对问题的认识，或是所用的方法，都有重要的进展。这里有两个主要的推动因素，一是要解决模型的不确定性问题，即鲁棒性问题；二是解决多变量控制问题已有的方法出现了缺陷。
随着多变量系统的发展，逐渐暴露出20世纪50年代形成的反馈系统理论中的一个问题，即强调了响应特性，忽视了反馈特性。70年代Rosenbrock将频域法推广用于多变量系统的设计，使频域法又开始蓬勃发展。然而好景不长，INA法很快遇到了鲁棒性的挑战。1981年前的多变量设计一直是以解耦作为设计目标。其实解耦是一种响应特性：每个输出量只受一个相应的输入量控制。可是解耦设计后的系统其稳定性（鲁棒稳定性）并不一定好。长期以来在设计中使用的阶跃响应特性也是响应特性。反馈特性是指系统的稳定性（包括鲁棒稳定性）、灵敏度和对扰动的抑制性能等，这些性能只有通过反馈才能对其进行改动或改善。而响应特性则可以不通过反馈，仅用前置滤波等开环控制的手段就可以对其进行改变。其实反馈特性才是为什么需要采用反馈控制的真正目的。当年Black发明负反馈放大器时就是要利用反馈来减少畸变。Black考虑的正是灵敏度这个反馈特性。但是在随后形成的理论中却很少谈及这一点，更不用说其他的反馈特性了。这是因为经典理论的基础（或者说背景）是Black的反馈放大器和Hazen的解算装置中的伺服系统。当年的Black或Hazen都没有过处理现今复杂的控制工程问题的经验。
1981年J.C.Doyle及G.Stein和M.G.Safonov发表文章“Multivariable feedback design: concepts for a classical/modern synthesis”和“Feedback properties of multivariable systems: the role and use of the return difference matrix”于IEEE Transactions on Automatic Control期刊上[1，2]。这两篇文献明确指出反馈特性应是反馈系统设计的首要考虑，这是对1950年代就形成的反馈控制理论的一个重要补充。Doyle、Stein还详细分析了工程中的未建模动态，给出了鲁棒稳定条件。这个鲁棒稳定条件是设计在实际上能否实现（能否调试出来）的一个条件。1989年Stein获IEEE的首位Bode奖。在颁奖的Bode讲座会上，Stein作出了一个很重要的报告，指出控制系统的性能，即灵敏度函数要受到Bode积分的约束，他指出控制系统的一些设计上的困难都可用Bode积分来解释，并结合X-29战机驾驶仪的设计实例作了详细的介绍。Stein的这篇报告，后来由K.J.Åström推荐，重新发表于IEEE Control Systems 2003年的第4期上[3]。Stein于1994年被选入（美国）国家工程院。国际自控联（IFAC）为表彰他在控制系统设计方面的成就，于1999年授予他Nichols奖。
由此可见，控制理论虽然经历了数十年的发展，直到1981年才明确反馈控制的目的，以及究竟用什么特性来表示系统的反馈特性，使反馈控制理论走上了正确的发展道路。
20世纪60年代以LQG最优控制理论为代表的现代控制理论，完全依赖于描述被控对象动态特性的精确数学模型。为解决在处理多变量系统时的鲁棒性问题，1980年，加拿大学者Zames在其论文中引入H∞范数作为目标函数进行优化设计，标志着H∞控制理论的诞生。Zames考虑了一个SISO系统的设计问题：假设干扰信号属于某一有限能量的已知信号集，要求设计一个反馈控制器，使闭环系统稳定，且干扰对系统的影响最小。要解决这样的问题，就必须在能够使闭环系统稳定的所有控制器中选出一个控制器，使之相应的灵敏度函数的H∞范数最小。直到1984年，Francis和Zames才给出了H∞最优化问题最初的解法。但遗憾的是，最初的H∞控制理论的标准频域方法在处理MIMO系统时，无法进行数学求解和计算。
H∞范数优化能有效地处理非结构不确定性问题，而对于结构不确定性问题则可能产生保守性。1982年，Doyle将结构奇异值引入到MIMO系统进行分析。结构奇异值理论主要分μ分析和μ综合。μ分析是解决当模型存在结构不确定性时估计鲁棒性能的一种有效的分析工具。1985年，Doyle提出D-K迭代法，将μ分析与H∞优化结合，着眼于分散的不确定性可集中为一个对角阵，产生一种新的鲁棒控制方法——μ综合。
1989年，Doyle等人，发表论文“State-Space Solutions to Standard H2 and H∞ Control Problems”于IEEE Transactions on Automatic Control第8期上，提出完全采用状态空间的概念来推导H∞控制的解的DGKF法，该法的命名由4位作者姓的首字母组成[4]。DGKF法是H∞控制理论的一个里程碑，对状态反馈和输出反馈都给出了H∞标准控制问题有解的充要条件，只要求解两个Riccati方程，所得的控制器公式比较简单，类似于LQG问题中的分离结构。MATLAB中的H∞控制器的算法都是以此文献的基础来编写的。
基于Riccati方程的DGKF法是一种解析法，其最优解是一条全通特性。因此可以通过指定权函数来实现所要求的性能。H∞回路成形把经典控制理论与现代H∞优化控制相结合，通过选择权函数改善开环奇异值频率特性，在鲁棒性能指标和鲁棒稳定性之间进行折中，以实现系统的闭环全通特性。不但能保证系统的稳定性，而且还具有鲁棒性。H∞回路成形设计中的对象是用互质因式分解来描述的，而互质因式不确定性又可以较为方便、清晰地描述贴近虚轴的弱阻尼极点的摄动，所以与H∞控制求解混合灵敏度相比较，H∞回路成形法常常被用于弱阻尼挠性系统的设计。
随着控制理论的发展，非线性系统的分析和控制逐渐成为研究热点和难点。尽管经历多年研究，目前仍然没有通用的方法来分析非线性系统的稳定性和性能，就更无法进行非线性系统的稳定设计。最初，各种基于Lyapunov或存储函数（storage function）的分析和综合方法被提出来。然而没有易于处理的计算方法和手段来帮助我们进行构建这样满足要求的函数。
鲁棒控制是非线性控制理论的一个重要分支。非线性系统鲁棒控制主要利用Lyapunov理论、耗散理论以及由此发展起来的H∞控制方法，直接从非线性系统出发进行性能分析与控制器设计。耗散理论是基于能量耗散的角度来研究系统，其出发点和Lyapunov函数理论是相同的，确定耗散性的关键也是在于能否求得一个满足条件的存储函数。到20世纪90年代以后，非线性H∞控制成为非线性系统理论研究的一个热门，它借鉴传递函数概念提出了L2诱导范数，在非线性系统中L2诱导范数常称为L2增益，故习惯上常说的非线性系统的H∞控制，更确切地说应该是L2增益控制问题。关于这个控制问题，Van de Schaft作出了很大的贡献，运用动态耗散理论，提出一种非线性H∞状态反馈的解决方法，这里讨论的是从扰动到性能输出的L2增益，所以这样的问题也称之为扰动抑制（disturbance rejection）问题。非线性H∞状态反馈就是要求解Hamilton-Jacobi不等式。设计中也可将这个Hamilton-Jacobi不等式转化为一个特定形式的Hamilton-Jacobi-Issacs（HJI）不等式，目前也没有统一的解析求解方法。实际上非线性H∞控制中的Hamilton-Jacobi方程（或不等式）类似于线性系统H∞理论中的Riccati方程，它将L2增益和耗散性联系起来。这样就可以不用求解不等式，而是通过相关的途径去构造一个存储函数来得到L2增益控制器。这又归结到函数的构造问题上[5]。
在很多情况下耗散理论的存储函数就是Lyapunov函数。我们都知道二次型Lyapunov函数，它将矩阵和多项式联系起来。因此如何构造存储函数也就是研究多项式。虽然非线性系统是用微分方程描述，但通过泰勒级数展开可将非线性方程表达成多项式的描述形式，阶次是1时的多项式就是线性化系统。耗散性中的存储函数是大于零的，对应于多项式考虑的则是正定性问题。
Parril等人着手于如何构造Lyapunov函数对多项式进行研究，提出了SOS（sum of squares）法，并在此理论研究基础之上开发了SOSTOOLS工具箱，这是一个借助第三方来求解SOS规划的MATLAB工具箱。该工具箱正是基于多变量的多项式SOS分解，有效地利用半定规划来进行计算。SOSTOOLS工具箱是近些年来对SOS多项式感兴趣而带来的发展成果，主要是因为该技术为许多较难的问题，如全局约束和布尔优化等提供了凸松弛，从而为解决非线性系统的分析和控制设计问题提供一个有效的解决方法。实质上这个工具箱，是专门为控制学科研究的，因为研究该工具箱的出发点是在非线性系统的稳定性分析中，怎么样用一些程序去构造Lyapunov函数。自这一工具箱问世后，SOS法渐渐被广泛用于吸引域估计和非线性系统的控制设计。哈尔滨工业大学王广雄教授提出了非线性H∞设计的SOS法。随着SOS理论的不断完善，在控制系统的设计中将会引起广泛的重视。
从古代的计时刻漏到漏壶流水控制浑象、从Huygens发明钟表到Watt的离心调速器、从人工控制的飞机舰船火炮到Black负反馈放大器的发明、从Routh和Hurwitz判据到Nyquist判据、从最初的登月到现在的太空发展、从简单的系统稳定性分析到具有多重性能的控制系统H∞设计，自动控制技术从瓦特的离心调速器开始经过将近两个多世纪的千锤百炼，已经成为人类科技文明的重要组成部分。控制系统的理论是非常丰富的。上面的H∞控制发展不可能包括控制理论的各个方面。这里介绍的只是本书中一些设计问题形成的历史背景，使读者能了解本书中所讨论问题的由来和意义。