2.2 连续系统的振动

2.2.1 薄板的振动

弹性薄板是二维弹性体，可以承受弯矩。设薄板的中性面在变形前为平面。建立（x，y，z）坐标系，（x，y）坐标面与变形前的中性面重合，z轴垂直向下（见图2.1）。薄板受到沿z轴的分布力f（x，y，t）作用。在中性面上任意点处取长宽分别为dx和dy的矩形微元体。将与x轴和y轴正交的横截面分别记为S_x和S_y，假设弯曲变形后截面仍保持平面。将板的中性面法线视为截面S_x和S_y的交线，则弯曲变形后必保持直线。弯曲变形后，中性面上各点产生沿z轴的挠度w（x，y，t），且引起截面S_x和S_y的偏转。设截面S_x绕y轴的偏角为θ_x，截面S_y绕x轴的偏角为θ_y。在小挠度的前提下，偏角θ_x和θ_y可用挠度w（x，y，t）对x轴和y轴的变化率代替：

则截面上坐标为z的任意点产生沿x轴的弹性位移u和沿y轴的弹性位移v分别为

位移u和v对x轴和y轴的变化率导致微元体沿x轴和y轴的正应变ε_x和ε_y：

除正应变以外，位移u对y轴的变化率和位移v对x轴的变化率导致微元体在（x,y）平面内的切应变γ_xy为

代入广义胡克定律计算正应力和切应力：

σ_x、σ_y、τ_xy在截面S_x和S_y上的积分为零。设、分别为截面S_x和S_y上沿z轴单位长度的剪力，板的厚度为h，密度为ρ。根据达朗贝尔原理，考虑微元体的惯性力，列出微元体沿z方向的力平衡方程（见图2.2）：

计算截面S_x的单位长度上作用的绕y轴的弯矩M_y和绕x轴的转矩M_yx，以及截面S_y的单位长度上作用的绕x轴的弯矩M_x和绕y轴的转矩M_xy，得到

式中，D为板的抗弯刚度：

忽略截面转动的惯性力矩，列写微元体绕y轴的力矩平衡条件（见图2.3）：

略去dx、dy的三次项，得到

与此类似，从微元体绕x轴的力矩平衡条件导出（见图2.4）

将式（2-62）、式（2-63）代入式（2-58），得到

将式（2-59）代入后，利用二重拉普拉斯算子得

导出薄板的振动方程为

2.2.2 圆环的振动

本节研究的圆环，假定为等截面的而且截面尺寸和环中心线半径相比要小得多，同时截面在振动过程中仍然保持平面。选择圆柱坐标系Rθz，圆环在振动中除了扩张振动之外，还有扭转振动，如图2.5所示。设其绕轴线的转角为ψ，于是截面上各点有三个方向的位移，设其沿R、θ、z方向的位移为u、v、w。现以轴线（截面中心线）上各点的位移为u、v、w，绕轴线的转角为ψ，略去高阶微量，则环上任意点a（R,θ,z）的位移将为

根据小变形情况下圆柱坐标系中的柯西方程，截面上各点应变和应力分别为

上述关于剪切变形只限于平面假设，因此只能适用于圆截面的圆环，以下只讨论圆截面的圆环。圆环的势能表达式为

式中，A为圆环截面积；J_z、J_r分别为截面对于通过形心而分别平行于z轴和R轴的轴线的惯性矩；J_P为圆截面的极惯性矩。

动能表达式为

式中，、、分别为圆环上任意一点a（R，θ，z）在u、v、w三个方向上的速度，且

在动能和势能表达式中可以发现，u、v和w、ψ之间不发生耦合，因此可将圆环振动分解为环面内的振动和环面外的振动。

1.环面内的振动

变分方程为

讨论环面内的振动时，在动能和势能表达式中令w=ψ=0，然后将其代入变分方程式（2-72），经过变分运算，并考虑δu、δv的任意性，略去小量得到

此方程包括圆环在环面内的伸缩和弯曲振动，由于J_z=Ar²，要使弯曲振动的有关项和伸缩振动的有关项同量级，则由ε_θ=+，可得u=-。根据这个关系，假设

将式（2-74）代入式（2-73），可求得圆环在环平面内弯曲振动频率为

当n=0时，p₀=0，u₀=0，v₀=B₀，是圆环的刚体转动。

当n=1时，p₁=0，u=-A₁cosθ+B₁sinθ，v=A₁sinθ+B₁cosθ，是圆环的刚体平动。

考虑到J_z=Ar²，将式（2-73）进一步简化，便得到圆环的伸缩振动方程：

此时设圆环做波数为n的伸缩振动的位移函数为

将式（2-77）代入式（2-76）可解得

当n=0时，圆环切向位移为零，只做均匀的径向振动。

2.圆环的扭转振动和面外弯曲振动

在动能及势能表达式中令u=v=0，然后代入变分方程式（2-72）中，经过变分运算，并考虑δw和δψ，得

以上两个方程彼此之间发生耦合，即面内弯曲振动与扭转振动是互相耦合的，现设其振动时的位移函数为

将式（2-80）代入式（2-79），并考虑到J_z=Ar²，得到频率方程为

所以有

式（2-82）中，由于根号中的后一项比前一项小得多，所以根号取正值或取负值时，频率值的差值较大。频率中较高的一类是常说的扭转振动，低的一类是弯曲振动。对于扭转振动，其频率值为根号取正值，即

当n=0时，有

相应的位移函数为

和伸缩振动频率相比，扭转振动的基频低于伸缩振动的基频。

对于弯曲振动，即根号前取负号，可得

式中，ν为泊松系数。

与前面的讨论比较可以看出，面内弯曲振动的频率和面外弯曲振动的频率是相当接近的。

2.2.3 圆柱壳体的振动

对于半径为R、长为L的圆柱壳体（见图2.6），取图中的圆柱坐标系（x,θ，z），其中x、θ、z分别表示轴向、切向和径向，R、h、L分别为圆柱壳体的中面半径、轴向长度和厚度，u、v、w分别为轴向、切向和径向的位移。

若壳体中曲面上的一点P的轴向、切向、法向位移分别为u、v、w，则中面应变与中面位移之间的关系式为

式中，ε为薄膜应变分量；χ为弯曲应变分量。

内力与圆柱壳中面应变的关系式为

式中，N为单位长度薄膜力；M为单位长度力矩。

薄膜刚度K和弯曲刚度D分别为

圆柱壳体的一般性内力动平衡方程为

式中，剪力表达式为

将式（2-87）代入式（2-88），再代入式（2-90），即可得剪力以中面位移分量表示的圆柱壳体的基本微分方程组：

式中

在电机的振动噪声分析中常见的是两端简支的有限长圆柱壳体（见图2.7）的振动，即圆柱壳体端部边界各点的法向和切向移动是约束的，转动和轴向移动是自由的。对于两端简支的圆柱壳体，其振型边界条件为

式中，凡带^*者均为响应力学量的振型。

设满足全部边界条件［式（2-94）］的圆柱壳体非轴对称振动的位移振型解为

由于自由振动的圆柱壳体轴向、切向及径向的面压力均为零，即q_x=q_θ=q_z=0，将上述位移振型解代入圆柱壳体的一般性内力动平衡方程，可得如下齐次线性代数方程组：

式中

为求得振型的非零解，必有式（2-96）的系数行列式为零，展开可得

式中

式（2-98）即为两端简支圆柱壳体的频率方程，求得频率系数Ω²的三个根为

式中

从而解得固有频率为

式中，ω_i,mn的下标m、n代表响应振型沿轴向有m个半波，沿周向有n个半波。对应一组（m,n），有三个频率（i=1,2,3），代表U、V、W间比值不同，但均有m个轴向半波和n个周向半波。三个频率中最低一个相应于振型中W为主，其他两个频率值要高过一个量级，相应于U、V为主。对应每一个ω_i,mn或Ω_i,mn，从式（2-96）中可求得一组振型比，例如取c=1，则由前两个方程可解出

因此与ω_i，mn相应的位移振型为