1.7　条件分布

假定yt是一个关于利率变量是包含m个变量的向量，是σ-代数，包含变量zt的过去值，也包含yt的过去值以及其他变量的过去值，则称F（yt|）为在给定条件下yt的预期分布，也可称为条件分布，可记为F（yt|）=Pr（yt≤y|），其中，yt≤y是以分量方式解释的。令yjt为yt的第j个元素，则条件期望mj（）=E{yjt|}和条件方差Vj（）=E{（yjt-mj）2|}均可以从条件分布中推导出来，或者可以对两者直接进行构造。如果{yt}是平稳的，那么，对mj（）而言，本书讨论的模型的绝大部分都是非线性的，不过，第8章提到的条件方差模型除外。如果只关注条件分布，那么，区分线性和非线性的概念就显得无关紧要，除非分布是采用分位数估计的。在计量经济学中，尽管在分位数回归方面已经有了相当大的进展，但对条件分布的模型构建却仍处于初期阶段，可参阅Koenker（2005）和第10.2.4节的相关论述。

如果假定仅包含滞后一期向量变量zt-1，那么，为了获得预测分布，就需要知道yt和zt-1的联合分布。这一联合分布可以通过以下方式获得：假设特殊的参数形式，比如多元正态的混合；或者是在yt和zt-1的维度都较小时的非参数形式。

当yt只包含单一变量时，条件分布可以通过条件分位数来建模。在这方面，Granger和Sin（2000）给出了例子，通过对中国香港股市日数据指数绝对偏差的99分位数进行估计，研究了1997年亚洲金融危机前后的分布形态。也可参阅Cai（2002）的相关研究。

为了说明应用，简便构造是copula函数。为了对双变量情况进行描述，假定x和y是一对随机变量，它们对应的联合分布和联合密度函数分别为Fx,y（u,v）和fx,y（u,v），边缘分布和边缘密度函数分别是Fx（u）、Fy（v）、Fx（u）和Fy（v）。Sklar（1959）证明了在［0,1］×［0,1］上总存在一个双变量函数C（·,·），使得

Fx,y（u,v）=C（Fx（u）, Fy（v））

（1-10）

其中，把C称为copula函数的分布函数，且满足C（0,0）=0, C（1,1）=1。对u和v取微分，假定可行，则有

fx,y（u,v）=fx（u）fy（v）c（Fx（u）, Fy（v））

（1-11）

其中，c（·,·）≥0，并且被定义在［0,1］×［0,1］，在式（1-11）中，把x和y的分布关系分解成了两部分：一部分是边缘效应，另一部分是包含在copula密度c（·,·）之中的剩余关系。

关于copula函数以及多元扩展的一些理论性质的内容可参阅Nelsen（1999）的论述，特殊参数copula函数的例子可参阅Joe（1997）展开的讨论，同时也可参阅第4.4.4节的讲解。

尽管式（1-10）和式（1-11）中的分布可以用条件分布替代，但在实际建模方面却难度很大。