2.1 傅里叶级数展开_图像处理中的数学修炼（第2版）-QQ阅读科幻男生网

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2.1　傅里叶级数展开

之前在介绍泰勒展开式的时候提到过傅里叶级数。利用傅里叶级数对函数进行展开相对于泰勒展开式，会具有更好的整体逼近性，而且对函数的光滑性也不再有苛刻的要求。傅里叶级数是傅里叶变换的基础，傅里叶变换是数字信号处理（特别是图像处理）中非常重要的一种手段。遗憾的是，很多人并不能较为轻松地将傅里叶变换同高等数学中讲到的傅里叶级数联系起来。本节就来解开读者心中的疑惑。

2.1.1　函数项级数的概念

之前介绍过数项级数，函数项级数是数项级数的推广，研究函数项级数更具实际意义。设函数u_n（x）（n=1，2，…）在集合D⊂ℝ上有定义，称{u_n（x）}：u₁（x），u₂（x），…，u_n（x），…为D上的函数序列（或函数列）。如果对于每一个点x∈Ω⊂D，均存在u（x），使得

则称函数序列{u_n（x）}在点x处收敛，u（x）称为函数序列{u_n（x）}的极限函数，Ω称为收敛域。

设{u_n（x）}是定义在D⊆ℝ上的函数序列，则称

为定义在D上的函数项级数。对于x₀∈D，若数项级数（x₀）收敛，则称级数（x）在x₀处收敛，那么x₀称为收敛点，收敛点的全体称为收敛域；若数项级数（x₀）发散，则称级数（x）在x₀处发散，x₀称为发散点。

若Ω为函数项级数（x）的收敛域，则对每个x∈Ω，存在唯一的S（x），使得

则称S（x）为函数项级数（x）在Ω上的和函数。显然如果用S_n（x）表示函数项级数的前n项和，并且r_n（x）=S（x）-S_n（x）为余项，则在收敛域Ω上有

设函数序列{u_n（x）}在收敛域D上逐点收敛于u（x），如果对于任意ε＞0，存在只依赖于ε的正整数N，使得当n＞N时，对于x∈D恒有|u_n（x）-u（x）|＜ε，则称函数序列{u_n（x）}在D上一致收敛于函数u（x），并记作u_n（x）u（x）（n→+∞）。

设函数项级数（x）在I⊂ℝ上的和函数为S（x），若其部分和函数序列{S_n（x）}在I上一致收敛于S（x），则称函数项级数（x）在I上一致收敛于和函数S（x）。

魏尔斯特拉斯判别法　如果函数项级数（x）在区间I上满足条件，∀x∈I，|u_n（x）|≤M_n（n=1，2，…），并且正向级数收敛，则函数项级数（x）在区间I上一致收敛，其中，M表示一个常数，这个方法又称为M判别法。

所以对于函数项级数，如果它的每一项的绝对值，都能够找到一个相应的上界，便可以通过上界所构成的级数的收敛性来得到相应的函数项级数的一致收敛性。在此，不具体给出魏尔斯特拉斯判别法的具体证明，有兴趣的读者可以参阅数学分析方面的资料以了解更多。

例2.1　证明下列级数在（-∞，+∞）上一致收敛

解　根据M判别法，现在来寻找级数中每一项的一个上界，考虑正弦函数的有界性可得

而从前面的介绍，可知几何级数是收敛的，所以根据M判别法知原级数一致收敛。

该例子中的f（x）是一个非常著名的函数项级数，称其为黎曼（Riemann）函数。实际上可以证明，黎曼函数在整个实轴上每一点处都是连续的，但是仅在满足下式的点上可导

2.1.2　函数项级数的性质

上一节中已经给出了函数项级数一致收敛的概念，下面把原来的描述改写成δ-N定义的形式：∀ε＞0，∃N（ε）∈Z⁺，使得当n＞N时，有

对一切x∈I成立，则称函数项级数（x）在I上一致收敛于和函数S（x）。

定理1　如果级数（x）的各项u_n（x）在区间[a，b]上都连续，且（x）在区间[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]也连续。

定理1也可以表述为∀x₀∈[a，b]，有

上述等式也说明在和函数连续的情况下，极限运算与求和运算可以交换次序，所以也可以把这个定理说成是极限运算与求和运算交换次序的一种性质。

证明　这里仅讨论x₀∈（a，b）时的情形，对于x₀是区间端点时的情况可以作类似讨论。

由于（x）在区间[a，b]上一致收敛于S（x），根据一致收敛的定义：∀ε＞0，∃N（ε）∈Z⁺，当n＞N时，有

对一切x∈[a，b]成立。因此，取n=N+1，则有

又因为u_k（x），k=1，2，…，在x=x₀处连续，所以对上式ε＞0，根据连续的定义（即函数在某一点的极限就等于函数在该点处的值），对于δ＞0，使得|x-x₀|＜δ时，有

综上，可以得到，∀ε＞0，∃δ＞0，使得|x-x₀|＜δ时，有

即S（x）在x=x₀处是连续的，所以定理得证。

此外，尽管原定理的描述是在[a，b]上的，但定理1在开区间（a，b）以及（-∞，+∞）上依然是成立的。

上一节分析了黎曼函数的一致收敛性，而且还提到黎曼函数在整个实轴上都是连续的，下面就来证明这个结论。

因为函数

在（-∞，+∞）上连续，且级数在（-∞，+∞）上一致收敛，所以根据刚才证明的定理可知和函数f（x）在（-∞，+∞）是连续的。

定理2　如果级数（x）的各项u_n（x）在区间[a，b]上都连续，且（x）在区间[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上可积，且

其中，x₀，x∈[a，b]，并且上式右端的级数在[a，b]上也一致收敛。

上述定理也可以表述为

上述等式也说明在级数中的每一项都是连续的且相应的函数项级数都一致收敛的情况下，积分运算与求和运算可以交换次序。

证明　（x）dx的前n项部分和为（注意有限项的和与积分是可以交换次序的）

由此可得

由于（x）在区间[a，b]上一致收敛于S（x），根据一致收敛的定义：∀ε＞0，∃N（ε）∈Z⁺，当n＞N时，有

对一切x∈[a，b]成立。

根据积分估计不等式，又|x-x₀|≤b-a，则有

由此可得

同时上述不等式对一切x∈[a，b]都是成立的，这也就隐含着级数（x）dx中的每一项都一致收敛于（x）dx，所以定理得证。

定理3　如果级数（x）在区间（a，b）内收敛于函数S（x），它的各项u_n（x）都具有连续导函数（x），且级数（x）在区间（a，b）上一致收敛，则（x）在区间（a，b）上也一致收敛，且可逐项求导，即

定理3也可以表述为

这个等式说明导数运算与求和运算可交换次序，条件是函数项级数本身是收敛的，并且每一项求导数之后相应的函数项级数是一致收敛的。

证明　设（x）=φ（x），x∈（a，b），因级数（x）在区间（a，b）上一致收敛于φ（x），且（x）是连续的，所以由定理3可知φ（x）在（a，b）上连续，导函数所构成的函数项级数是一致收敛于φ（x），因此它可以逐项积分，即

根据牛顿-莱布尼茨公式，上式可变为

由于φ（x）在（a，b）上是连续的，而由连续函数所定义的变上限积分一定是可导的，于是可以得到如下结果，请注意S（x₀）是一个常数，所以它的导数是等于0的，则

所以

定理得证。

2.1.3　傅里叶级数的概念

前面在介绍泰勒公式时，已经提到过傅里叶级数了。傅里叶级数是一类特殊的函数项级数，也是一类非常重要的函数项级数。傅里叶级数是信号处理理论的一个重要基础。

设有两列实数{a_n}、{b_n}，做函数项级数

称具有该形式的函数项级数为三角级数，而{a_n}、{b_n}称为此三角级数的系数。

显然级数中的每一项都是以2π为周期的。下面需要考虑如果一个以2π为周期的函数能够展开成三角级数，那么三角级数的系数该如何确定。为了回答这个问题，先来观察一下三角级数的形式。三角级数其实就是如下这样的无穷多个简单的三角函数（正弦函数或余弦函数）的线性组合

1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，cosnx，sinnx，…

许多个函数放在一起就可以组成一个函数系统（Function System），或简称为函数系。由上面这些三角函数所组成的函数系就是一个三角函数系。而三角函数系是具有正交性的，所谓三角函数系的正交性是指三角函数系中任何两个不同的函数相乘，然后在-π到π上积分，其积分的结果都是等于0的。此外，还发现除1以外，其他任何函数跟自己相乘，然后在-π到π上积分，其积分的结果都等于π。即对于三角函数系中的函数，都有如下等式成立

其中，k、n均为非负整数。

下面来验证上述结论。首先，对于第一个等式，当k≠n，通过积化和差公式，可得

当k=n时，可得

对于第二个等式，当k≠n，通过积化和差公式，可得

当k=n≠0时，可得

同理，可以验证第三个等式成立。

假设本节最开始给出的三角级数在[-π，π]上可以逐项积分，并且收敛于和函数f（x），即

根据前面介绍的函数项级数的性质，如果函数项级数一致收敛的话，那么一致收敛的函数项级数是可以逐项积分的。在这样一个前提下，便可以将三角级数中的系数用f（x）表示出来。下面推导三角级数中系数的表达式。首先，对上面等式的左右两端在[-π，π]积分，可得

根据三角函数系的正交性，可得

为了求出a_n在n≥1时的表达式，可以将原等式的左右两端分别乘以cosnx，然后再在[-π，π]做积分，可得

根据三角函数系的正交性，可得

即

同理，为了求出b_n在n≥1时的表达式，可以将原等式的两端分别乘以sinnx，最终也可以得出

如果一个函数可以展开成三角级数，且三角级数可以逐项积分，基于上面的推导便得到了三角级数的系数与和函数之间的关系。由此也可以给出一个周期函数的傅里叶系数和傅里叶级数的概念。

定义　设函数f（x）在（-∞，+∞）上有定义，且以2π为周期，又在[-π，π]上可积，称由

所确定的a₀、a_k、b_k（k=1，2，…）为函数f（x）的傅里叶系数。以f（x）的傅里叶系数为系数而做出的三角级数称为函数f（x）的傅里叶级数，记作

当f（x）是以2π为周期的偶函数时，它的傅里叶级数就变成了如下所示的余弦级数

当f（x）是以2π为周期的奇函数时，它的傅里叶级数就变成了如下所示的正弦级数

余弦级数和正弦级数是傅里叶级数的两种特殊形式。

傅里叶级数理论是傅里叶在研究一系列物理问题时创造出来的一套数学方法。他曾经断言：“任何函数，无论怎样复杂，都可以表示为三角级数的形式。”然而，这句话显然不够严密，甚至是错误的。前面也都是在假设一个函数可以被展开成傅里叶级数的条件下进行推导的。但一个周期为2π的函数满足什么样的条件才能展开成傅里叶级数呢？或者说傅里叶级数的和函数与原函数之间有着什么样的关系呢？傅里叶的学生狄利克雷最终回答了这个问题。

狄利克雷收敛定理　设f（x）是以2π为周期的函数，并且满足狄利克雷条件：

第一，在一个周期区间内连续或只有有限个第一类间断点；

第二，在一个周期区间内只有有限个（非平凡的）极值点，则f（x）的傅里叶级数收敛，且有

其中，a_n、b_n为f（x）的傅里叶系数。

例2.2　求下列函数的傅里叶级数并讨论其傅里叶级数的收敛性。

解　显然f（x）在实轴上是一个以2π为周期的偶函数，而偶函数所对应的傅里叶级数就是一个余弦级数。因为在[-π，π]上，f（x）=|x|，所以有

当n≥1时，另有

由此得

显然，f（x）在一个周期区间内是连续的，同时在一个周期区间内只有一个极小值点。换言之，该函数是满足狄利克雷条件的。所以，f（x）在[-π，π]区间上收敛，且收敛的和函数就是f（x）本身，即

基于这个结果，可以回答本文前面提出的一个问题，也就是下列几何级数求和的问题

这是数学史上一个非常有名的问题，伯努利兄弟曾经证明该级数是收敛的，但是它最终到底收敛到多少却一直困扰着他们。后来，约翰·伯努利的学生——大数学家欧拉采用了一种非常巧妙的方法求出该问题的结果是π²/6。当然，欧拉所处的时代，傅里叶级数的理论还没有出现。而这个问题如果利用傅里叶级数的方法求解是非常方便的。

令上面求得的傅里叶级数中的x=0，则得

可以将原问题中的级数分成两个部分，即n取奇数和n取偶数这两个部分，于是有

把最后一项中的k做变量替换，即用n代替，便可解出

前面已经介绍过余弦级数与正弦级数的概念。在本小节的最后，考虑一下如何把定义在[0，π]上的函数展开成余弦级数与正弦级数。如果函数有奇偶性，那么它相应的傅里叶级数有特殊的形式，也就是正弦级数或余弦级数。由此可知，如果需要把一个函数表示成正弦级数或者余弦级数，那么只需把这个函数延拓成一个奇函数或者偶函数即可。

设f（x）是定义在[0，π]上的函数，并且满足狄利克雷条件。构造一个（-π，π）上的奇函数

则有

其中

设f（x）是定义在[0，π]上的函数，并且满足狄利克雷条件。构造一个（-π，π）上的偶函数

则有

其中

2.1.4　傅里叶变换的由来

前面已经讨论了周期为2π的函数的傅里叶级数。下面考虑更为一般的情况，即当函数以2l为周期时，它的傅里叶级数。设f（x）是以2l为周期的函数，通过线性变换x=lt/π，可将f（x）变成以2π为周期的函数

当然，也可以简单验证一下φ（t）就是以2π为周期的函数。根据定义有

因此，可以确定φ（t）就是以2π为周期的函数。

若f（x）在[-l，l]可积，则φ（t）在[-π，π]也可积。这时，函数φ（t）的傅里叶级数为

其中

将反变换t=πx/l代回，得

其中

这就是周期为2l的函数f（x）的傅里叶级数及其傅里叶系数的积分表达式。再结合上一节中给出的狄利克雷收敛定理，可得周期为2l的函数f（x）若满足狄利克雷收敛定理，那么f（x）在连续点处的傅里叶展开式及其傅里叶系数就由上述表达式给出。

特别地，如果f（x）为奇函数，则在f（x）的连续点处可得其正弦级数表达式为

其中

同样，如果f（x）为偶函数，则在f（x）的连续点处可得其余弦级数表达式如下：

其中

对于定义在任何一个有限区间上的函数，也可以将其表示成傅里叶级数的形式。这时可以考虑的方法主要有两种。

（1）对定义在有限区间[a，b]上的函数f（x），令x=t+[（b+a）/2]，即t=x-[（b+a）/2]，通过该线性变换后可得

然后把φ（t）进行周期延拓，也就是把它延拓成以b-a为周期的函数，于是便可以得到φ（t）的傅里叶级数展开。再通过t和x的关系，将t=x-（b+a）/2带回展开式，便可得到f（x）在[a，b]上的傅里叶级数展开。这种方法的本质是通过线性变换将f（x）的定义区间变成是关于原点对称的区间，再把函数延拓成整个实轴上的周期函数，将问题转化成一般周期函数的傅里叶级数展开问题。

（2）对定义在有限区间[a，b]上的函数f（x），令x=t+a，即t=x-a，从而将f（x）的定义区间平移[0，b-a]这样一个区间，即

φ（t）=f（x）=f（t+a）， t∈[0，b-a]

然后，把φ（t）进行奇性或者偶性的周期延拓，从而得到φ（t）在[0，b-a]上的正弦级数或余弦级数展开式。再通过t和x的关系，将t=x-a带回展开式，便可得到f（x）在[a，b]上的正弦级数或余弦级数。

在实际中常会用到傅里叶级数的复数形式。回忆前面提及的欧拉公式e^j^φ=cosφ+jsinφ，据此可得

则周期为2l的函数f（x）的傅里叶级数的表达式可以写为

令

显然，c_n与c_-_n互为共轭，则得到周期为2l的函数f（x）的傅里叶级数的复数形式为

如果将上式中的第一项c₀看成

则原式可重写为

结合前面关于a₀，a_n，b_n，c₀，c_n，c_-_n的定义，可以发现c_n的统一表达式为

将傅里叶级数用复数表示后，就是上述这样简洁的形式。而且傅里叶级数转变为复数形式后，原来每一项中的

都被分为正负两个频率的波

只不过这两个频率的振幅c_n、c_-_n都不再是实数，而是一对共轭复数。若f（x）为偶（或奇）函数，则所有的b_n（或a_n）将为0，此时的c_n将变为实数（或纯虚数），且a_n（或b_n）是转换后所得的c_n的2（或2i）倍，而c_-_n与c_n相等（或纯虚共轭）。

周期函数可以看成由很多频率是原函数频率整数倍的正余弦波叠加而成，每个频率的波都有各自的振幅和相位，必须将所有频率的振幅和相位同时记录才能准确表达原函数。从以周期为2l的函数f（x）的傅里叶级数表达式中来看将每个频率的波分成了一个正弦分量和一个余弦分量，同时记录了这两个分量的振幅a_n、b_n其实就已经包含了这个频率的波的相位信息；而对于经过欧拉公式变换后的式子，每个频率的波被分成了正负两个频率的复数“波”，这种方式比正余弦形式更加直观，因为复振幅c_n恰好同时记录了这个频率的振幅和相位，它的物理意义很明显，c_n的幅值|c_n|即为该频率的振幅（准确地说是振幅的一半），而其辐角恰好就是相位（准确地说是反相的相位，c_-_n的辐角才恰好代表该频率波分量的相位）。

已知定义在区间[-l，l]上的函数f（t）的复数形式的傅里叶级数展开式及其系数c_n，此处为了后续处理中便于区分而进行了符号替换，而且ω和t的记号也与信号处理中的标示相一致

把系数c_n的表达式代入f（t）的傅里叶级数展开式，得到

对于定义在（-∞，+∞）上的函数f（t），可以把它看成是周期l趋于无穷时的情况，则有

上式中出现了求和取极限的形式，很容易想到可以设法把它转化成一种积分的形式。因此，令ω_n=nπ/l，Δω=π/l，这其实是把整个实轴划分成了n段，每段长度是Δω。然后，再新建一个函数

于是得到

如果令

则

这就是傅里叶变换及其反变换的表达式。一般情况下，若傅里叶变换一词前不加任何限定语，则指的是连续傅里叶变换（连续函数的傅里叶变换）。连续傅里叶变换将频率域的函数F（ω）表示为时间域的函数f（t）的积分形式。而其逆变换则是将时间域的函数f（t）表示为频率域的复指数函数F（ω）的积分。一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F（ω）为傅里叶变换的象函数，原函数和象函数构成一个傅里叶变换对。

若f（t）为偶函数，则F（ω）将为纯实数，并且同为偶函数（利用这一点便可以得到所谓的余弦变换）；如果f（t）为奇函数，则F（ω）将为纯虚数，且同为奇函数；而对任意f（t），F（ω）与F（-ω）始终共轭，这意味着|F（ω）|与|F（-ω）|恒相等，即F（ω）的绝对值是偶函数。

傅里叶变换针对的是非周期函数，或者说是周期为无穷大的函数。所以它是傅里叶级数的一个特例。当傅里叶级数的周期l趋于无穷时，自然就变成了上面的傅里叶变换。这种关系从二者的表达式中大概能看出点端倪，但也不是特别明显，毕竟它们的表达形式差别仍然很大。如果不把傅里叶级数表达成复数形式，那就更难看出二者之间的联系了。傅里叶变换要求f（t）在（-∞，+∞）上绝对可积，其实可以理解成傅里叶级数要求函数在一个周期内的积分必须收敛。

傅里叶变换是信号处理中的重要工具。在信号处理中，f（t）表示的一个信号在时域上的分布情况，而F（ω）则表示一个信号在频域（或变换域）上的分布情况。这是因为F（ω）的分布其实就代表了各角频率波分量的分布。由于F（ω）是复数，|F（ω）|的分布正比地体现了各个角频率波分量的振幅分布。F（ω）的辐角体现了各个角频率波分量的相位分布。平时所说的频谱图，其实指的就是|F（ω）|的函数图像，它始终是偶函数（这个就是实数了，因为取的是|F（ω）|的幅值而不是F（ω）本身）。对于满足傅里叶变换条件的非周期函数，它们的频谱图一般都是连续的；而对于周期函数，它们的频谱则都是离散的点，只在整数倍角基频（π/l）的位置上有非零的频谱点存在。根据频谱图可以很容易判断该原函数是周期函数还是非周期的（看频谱图是否连续），而且对于周期函数，可以从频谱图读出周期大小（相邻的离散点之间的横轴间距就是角基频，这个角频率对应的周期就是原函数的周期）。关于傅里叶变换在信号处理中更加深入的应用读者有必要参阅相关资料，此处的介绍旨在帮助读者搞清楚傅里叶变换的由来，并建立傅里叶变换与傅里叶级数之间的关系。

2.1.5　卷积定理及其证明

卷积定理是傅里叶变换满足的一个重要性质。卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。换言之，一个域中的卷积对应于另一个域中的乘积。例如，时域中的卷积对应于频域中的乘积。

设f₁（t）的傅里叶变换为F₁（ω），f₂（t）的傅里叶变换为F₂（ω），那么在时域上卷积定理可以表述为

F[f₁（t）∗f₂（t）]=F₁（ω）F₂（ω）

相对应地，频域上的卷积定理可以表述为

这一定理对拉普拉斯变换、z变换等各种傅里叶变换同样成立。需要注意的是，以上写法只对特定形式的变换正确，因为变换可能由其他方式正规化，从而使得上面的关系式中出现其他的常数因子。

下面来证明时域卷积定理，频域卷积定理的证明与此类似，读者可以自行证明。

证明　将卷积的定义

代入傅里叶变换公式

可得

定理得证。

上述证明过程中用到了傅里叶变换的时移性质，该性质的表述为：设t₀、ω₀为实常数，F[f（t）]=F（ω），则F[f（t-t₀）]=。

首先证明这个性质，然后再讨论它的意义。根据傅里叶变换公式可得

令x=t-t₀，则有

傅里叶变换的作用在频域对信号进行分析，可以把时域的信号看作是若干正弦波的线性叠加，傅里叶变换的作用正是求得这些信号的幅值和相位。既然固定的时域信号是若干固定正弦信号的叠加，在不改变幅值的情况下，在时间轴上移动信号，也就相当于同时移动若干正弦信号，这些正弦信号的相位改变，但幅值不变，反映在频域上就是傅里叶变换结果的模不变而相位改变。所以，时移性质其实就表明当一个信号沿时间轴平移后，各频率成分的大小不发生改变，但相位发生变化。

既然这里提到了傅里叶变换的性质，还将补充一些关于帕塞瓦尔定理的有关内容。该定理最早是由法国数学家帕塞瓦尔（Marc-Antoine Parseval）在1799年推导出的一个关于级数的理论，该定理随后被应用于傅里叶级数。帕塞瓦尔定理的表述为：已知f（x）为[-π，π]上的可积函数，若f（x）的傅里叶级数在[-π，π]上一致收敛于f（x），则有帕塞瓦尔等式成立，即