2.1．用无漏无穷共轭素数来证明孪生素数猜想

下面来叙述孪生素数猜想的另一种证明方法。我们知道，共轭素数的无穷无漏递增与偶数相邻递增完全一一映射，由此也可以得到，共轭差为2的共轭素数必在其中。即每一个递增的后继偶数，都可以分解成若干个素数之积，或可以拆割成若干素数之和。不小于8的偶数都可以至少拆割成一对共轭素数，且该共轭素数中必有一素数是和自然数n一一映射的。这个结论本人在哥德巴赫猜想证明中已经完成。共轭素数中的较大素数与较小素数之差是一个不断变化的偶数值，并存在给定素数p大与不大于该素数的p小进行两两组合，可以得到新增偶数。

那如何证明这样的共轭差为2的共轭素数即孪生素数有无穷对呢？已知有限域素数p1+p2=2k，那么素数如何用加法获得2k+2呢？如果p1和p2在有限素数域里不能获得2k+2，那么只有p1+p2+p3+p4=2k+2，假如p3和p4都是新增素数，就算最密集的孪生素数，也会导致差值等于6。因此无法得到差值为2的2k+2，更大的两素数之和就更不可能得到。故取一个新增素数加小素数才能得到新增相邻偶数。

因此每次（p3+p4）-（p1+p2）=2的过程中，只能新增一个素数。

当四个素数有三对以上相等，则没法得到差值2；

当四个素数中有两对相等即其中三个相同，非两两分别相同，可得到差值2，且一定有孪生素数；

当四个素数中有一对相等，那么新增素数同前素数组合中必有孪生素数；

若前素数不是一对孪生素数，新增素数与前素数中的较大素数一定组合成了孪生素数。

当四个素数没有一对相等，除了有差值为4的素数组包含其中的话，那么其他新增素数将不会带来新的孪生素数。

因此孪生素数在素数序列中绝不是密集出现的。

那么是不是素数大于某个k值后，就不再出现孪生素数了呢？经证明，这是办不到的，两个互不相同的素数可以得到不小于8的所有偶数，但“所有的相邻偶数都能用包含孪生素数的四个互质素数表达”则办不到。正因为四个互质素数不能得到所有的相邻偶数，才导致孪生素数的产生。因此只要证明“不是所有的相邻偶数都能用包含孪生素数在内的四个互质素数表达”，由此就可完成对孪生素数的最后封顶证明。

“不是所有的相邻偶数都能用包含孪生素数在内的四个互质素数表达”。这个命题可用反证法获得证明，比如：

8和10这两个相邻偶数，就不能用四个互质素数两两之和来表示，10与12也不行，12和14可以用四个互质素数表达，14和16也不行。

这是举例反证，但并不能在任意定义域里找出反例，还得继续证明。我们知道，两个互质素数是可以得到所有偶数的，这个已经获得了证明，那是不是四个互质素数两两组合能得到所有相邻偶数呢？假设能获得，那么必有（p3+p4）-（p1+p2）=2或（p1-p2）-（p3-p4）=2，且四个互质素数须跑遍所有素数，说明（p1+p2）在素数域内每次加一个2，都能获得一个新增素数，递增一个2不可能同时获得两个新增素数，因此必有另一个素数，尚在p1、p2的素数域内。

若四个互质素数有孪生素数存在，则必有差值为4或为0的素数组存在，如此才能两两相加获得相邻偶数。

若四个互质素数有差值为4的素数组存在，则必有差值为4加2或减2的素数组存在，如此才能两两相加获得相邻偶数。

因此根据皮亚诺公理，若四个互质素数有差值为2n的素数组存在，则必有差值为2n加2或2n减2的素数组存在，如此才能两两相加获得相邻偶数。

可见素数受相邻性原理的约束，若有差值为2n的素数组存在，则必有2n-2或2n+2的素数组存在。即：

当2n=4，或2n=0时，由此递推四个互质素数必有差值为2的素数组存在。

而当差值2n=0时，四个数已不是互质关系。

可见若有四个互质素数可获得相邻偶数，则必有非互质素数获得其他相邻偶数。这就反证出了，若仅有四个互质素数是不能得到所有的相邻偶数的。同时也证明了，若差值为2的素数组有无穷个时，差值为2n的素数组也同样有无穷个。通过以上相邻论递推原理可得到证明，否则无法获得无限递增的相邻偶数。

因此要继续得到相邻偶数，只有通过四个素数的非互质组合，即：

p1、p2, p3、p4（其中p2=p3，四个素数不再互质）

如此一来，（p1+p2）-（p3+p4）=2，即（p1-p4）=2，因此孪生素数就必然出现。在有限素数域中，只有重叠密集排列组合，才能完成素数偶数一一映射的对应关系，有些相邻偶数并不能靠素数的无限递增来获得，越过某个素数界便再也找不到能满足获得相邻偶数的匹配素数，素数递增与偶数递增是一一映射的匹配关系。“不是所有的相邻偶数都能用包含孪生素数在内的四个互质素数表达”，素数规则严密遵循了这种组合数学的规律，在有限素数域中，互质素数排列显然不如素数重复排列所能得到的数值更多，于是孪生素数就填补了这样的缝隙。证明到这一步，确定了要不断获得递增的相邻偶数，就必须要有孪生素数出现，才能完成所有偶数的相邻递增。

那素数大于任意给定的k值后，孪生素数是不是仍要必须出现才能获得相邻偶数的递增呢？这个结论是肯定的，我们来看，2k与2k+2这对相邻偶数用四个互质素数能否完全表达。四个互质素数能得到相邻偶数的差值最小组合：一个是差值2；一个是差值4。可见素数的递增带来或加2或加4的偶数，而一旦加4，就意味着有偶数缺位，但根据哥猜证明的结论，所有找不到素数对应的所谓偶数缺位是不存在的，因此必有：

非互质且不含差值为4的四个素数两两相加获得了其他相邻偶数；

非互质且不含差值4的四个素数，那显然就是可重叠的四个素数。

证明方法如前所述，四个素数中一旦有重叠素数，孪生素数就会继续出现。

但2p新+2的置顶相邻偶数（笔者在表达此概念时有时也叫龙头相邻偶数），又需要新增素数才能匹配获得。每次新增素数有可能越级新增，有可能相邻新增，才能匹配获得置顶相邻偶数。越级新增素数与小素数相加可以得到系列新增偶数，直到2p新+2这样的龙头偶数出现，才无法用两个小于p新的域内素数相加构造获得，小于p新的域内素数仅对构造2p新以内的偶数有效。在该轮新增偶数与新增素数对的匹配中，四个互质素数两两相加能获得的相邻偶数不能一一映射所有的新增相邻偶数，每次都缺位。于是这些缺位的相邻偶数得通过四个非互质素数两两相加来获得，直到填满。靠下一轮新增素数来实现已经不可能，因为当新增素数减去3还大于偶数时，这个新增偶数再也不能依靠以后的新增素数匹配获得，因此每一轮置顶相邻偶数的素数递增，都必须完成新增素数和新增偶数间的一一映射之匹配任务，不能拖欠到下一轮。由于每一轮都不能依靠四个互质素数两两相加来获得所有的新增相邻偶数，只能启动四个非互质素数两两相加来获得缺位的相邻偶数，如此一来孪生素数就必然出现了。根据皮亚诺公理，如此这般，一轮一轮可无穷进行下去，由此证明了孪生素数必会出现且会无穷出现。