4.1．用邻函数L（p）与相邻素数迭代递推公式探索素数分布

哥猜获证后可为很多应用数学提供思想照明，以前走不通的路，可以借道走通了。哥猜获证后的重要发现是素数的二元运算不扩域，在各种线性映射下仍等价。这如同超导现象，以最少的材料可对应最丰富的变换。代数变换与几何拓扑之间找到了可以互通的底层桥梁。这将成为一个重大的数学事件。

有人把素数通项公式作为哥德巴赫猜想是否被证明的试金石，因为一旦有通项公式，哥德巴赫猜想可直接得到证明。而素数的定义决定了，它是不可能有通项公式的，但可以存在递推公式。黎曼猜想和素数定理都不能成为素数通项公式，有些所谓通项公式只不过是将递推公式进行集结而已，都不能算是严格意义上的通项公式。解析数论中的积性数论概率公式就更不算了，加性数论差额公式也不算，一个从公比的角度，一个从公差的角度。

黎曼猜想是求幂次方的解，属于前者，是概率法求解素数；

哥德巴赫猜想是求共轭素数的解，属于后者，是差额法求解素数。

二者都不是素数的通项公式，但我们可以把二者结合起来，寻找出素数递推公式。特别是差额法求解素数有其优越性，通常人们会问“为什么素数要相加呢？素数是用来相乘而不是相加的”，可偏偏素数的秘密不仅隐藏在乘法中，更隐藏在加法中。

新增相邻素数递推公式是：

p（m+1）=orad（p1ap2bp3cp4dp5e…pmn+2）

各素数的幂数虽然好像随机，但n为各素数可同可不同的任意幂数，且小于或等于pm。

orad表示用小于或等于pm内的素数将括号内的数值减2做取无平方素数运算后，再将所得值域做取无同质素数运算，直到括号内的数出现比序素数pm更大的单素数，在任意幂不大于pm的前提下，这个孤单出现的最小新素数就是pm的新增相邻素数p（m+1）。

这个公式的意思是，依次对各因子任意数列首项的二邻数用小于或等于pm内的素数做取无平方素数后，再与新增值域做取无同质素数运算，直到出现：

{p（m+1）:（p1a p2b p3c p4d p5e…pmn+2）}

是最小的单素数，即非连积新素数或连积新素因子。当若有同质时，则取下一个幂数连积的二邻数进行orad计算，即对自然数n的每个数从小到大次第做orad运算，所得到的单素数即为素数序列。更为重要的是，我们得知，各素数的幂数虽然好像随机，但在求相邻素数时，并不是一个任意数，它不能大于新增素数，它由费马小定理所决定。

若p是合数m中的素因子，则m/2≤p≤m1/2。给定数n要么是合数m，被m/2≤p≤m1/2中的任意素数筛去，要么是素数q，不能被筛去。

从以上表达式看，它就是筛法，那么在哪里有所改进呢？首先它仅在奇数域里筛选，且用相邻递增的奇数与奇素数进行一一映射的筛选，由大规模捕捞改进到小范围狙击。

这就是古典数论中应用性较强的埃拉托色尼筛法，它是除法筛，它的重点不是筛去了什么数，而是如何获得新数，是差值为2的后继数产生了无漏的新素数。前者为重合法，后者为相邻论。

重合的世界往往是等量延伸的、无穷的；

相邻的世界往往是次第延伸的、无漏的。

而次第的世界更加根本，次第而生的素数原来是可以通过有限递增的已知获得的，不能被已知证伪的存在就是成长中的真理，知无漏比知无穷更加重要。相邻论从解析筛法中挣脱出来的一个关键是，从关注无穷转向关注无漏，解析法建立在无穷极限值的基础上，因而都是因子的、概率的，相邻论建立在无漏序列1的基础上，因而都是差额的、优选的。将筛法推进一步的做法是，进一步在m/2≤p≤m1/2范围里缩小范围。

根据重合法和相邻论，可以把递推公式进一步改进为：

2p大+2=p新+p小，或者2p大+2=p新+p大

据此可得：

p新=2n+2-p（p不能大于n）

它们相等时，p新是p的孪生素数，p新和p是2n+2的标准共轭差最小的共轭素数，p新为未知素数，p为已知素数，未知素数要通过不断获得的已知素数递推得到，因为要首先通过已知的相邻素数验证而获得新增素数，然后次第找到更小的素数看是否有共轭素数连和可等值该相邻偶数。

那么有新增相邻素数差额法递推公式是：

p（m+1）=olad（p1∨p2∨p3∨p 4∨p5∨…∨pm+2）

p1=3, p为素数，∨为选择符号，olad表示用小于或等于pm内的素数将括号内左边素数选项的数值做取无等值共轭素数运算后，直到括号内的数出现比序素数pm更大的单素数，这个孤单出现的最小新素数就是pm的新增相邻素数p（m+1）。这是用差额法求解任意偶数里共轭素数对中的非同质非遗漏大素数。由于存在孪生素数以及素数的差值为2的缘故，故此可以不断相邻产生新素数，对应相邻偶数，由于孪生素数在不同的位置中存在，于是新增相邻素数的差值就可以不断变化，可以等于任意偶数。通过迭代计算，任意给定数的后继素数就可以依此公式求得。给定数：

若是素数，pm则有唯一的后继素数p（m+1）；

若没有，pm和p（m+1）之间的每个合数则有唯一的后继素数p（m+1）。

显然，它是不同于埃拉托色尼筛法的一种“减法筛”，是用m/2≤p≤m+2之间的素数进行的减法筛。正如除法筛是用试除完成的，减法筛是用试减完成的。

大整数分解的办法，也会有相应进展。比如说要分解t，先用t-pi! =k。

如果k与pi！互素其中pi以内的任意组合的素数乘积小于，那么t就是素数。

如果k与pi！有共因子，那么t就可分解出此共因子。pi！或以内的素数乘积就是筛子。

拿100来说，100-2∙3∙5=70,70-2∙3∙5=40,40-2∙3∙5=10，而10与2∙3∙5有共因子，故100中定含共因子10。

拿101来说，101-2∙3∙5=71,71-2∙3∙5=41,41-2∙3∙5=11，而11是素数且与2∙3∙5没有共因子，故41、71、101都是素数。