3.7．几何数论角度，拓扑不变的思想证明拉伸位移不扩域
除了算术法相邻论、代数法相邻论外，还有几何法相邻论，任意线段有且只有两个端点，故在一维空间上长短区分线条的符号两类足够（前文已证），甚而两条足够（下文证明）。线条有效延伸与可区分是等价的，判定延伸的依据是不同于原来，即可长短区分，若没有两类区分，便只有混沌。这可反证出不等量关系比等量关系更本质，尽管后继数都是加一个等量的1构成，但1的位置不同，故严格意义上自然数相邻差值并不相同，而是取近似相同。
通过边线与边线之间的顶点相邻关系，根据乘法交换律：给定线段用n条2个素数区分，跟用2条n个素数区分，两者都能唯一确定对象。其中2条n个素数可合并或不可合并为2条1对素数，组合关系可穷分类为四种命题，现判定它们的真假性，其中必有一真，因为根据算术基本定理，任何偶数皆可分割成素数相连：
（1）p1+p2=2n, p+∑pi=2n，其中三元互素，n＞3, p2=∑pi, p=p1；
（素数二项式线条与素数多项式线条同构）
（2）p1+p22n, p+∑pi=2n，其中三元互素，n＞3, p2≠∑pi, p=p1；
（素数二项式线条与素数多项式线条同态）
（3）p1+p22n, p+∑pi=2n，其中三元互素，n＞3, p2≠∑pi, p≠p1；
（素数二项式线条与素数多项式线条分别与所有偶数同态）
（4）p1+p22n, p+∑pi=2n，其中三元互素，n＞3, p2=∑pi, p≠p1；
（素数二项式线条与素数多项式线条同态）
从以上四类组合可分析出，（2）式和（4）式中的素数二项式与素数多项式根据定义是偶数互补集，由于素数二项式是可表偶数，非空集，那么素数多项式就成了全集偶数的子集，这与素数多项式可表所有偶数矛盾。
故（2）式和（4）式是假命题。
（3）式由于素数二项式与素数多项式的素余子都分别每次互异，且累积的定义域也互异，因为不可表达同一偶数，故只能在有限或有界素数域表达偶数，如此素数二项式就不能表达可表偶数的后继偶数，会小于后继偶数；素数多项式也不能表达可表偶数的后继偶数，因为可表偶数的后继偶数会新增素数因子，素数多项式的素余子会相应无穷无漏产生新增素数，这与素数多项式的素余子有限或有界矛盾，会无法等值构造后继偶数。如此素数二项式与多项式都不能表达的偶数，这就与蕴含素数二项式的素数多项式可表所有偶数矛盾。
故（3）式也是假命题。
于是（1）式是正确的，哥猜得证。
再看更几何化的证明。偶数类线条2条可区分与2n条可区分，以及映射等价的判定，也可用欧几里得的几何公理完成证明。一维线条，任何一节线段，有且只有两个端点，因此能和线段衔接的就只有两处。
一维空间的连线必须做到不同类相邻，因为同类相邻即合数，合数的叠加就是同类相邻完成的，区别于多维空间，一维空间的连线必须是不同类相邻，即互素相邻，故绝没有相同数或合数相连，比如说不能用很多相同的1区分，相同的1之所以能完成区分，是因为每个1距离起点的距离不同，虽然不同的1乘积一样，但它们的单位不同，每个1的基数虽然相等，可它们作为位置上序数是没有一个相同的，这就是“君子和不同”的道理。如果相同则混沌不可比较，逻辑关系崩溃。
我们也把2条区分叫作2n条区分的最优化组合。华罗庚的优选法
原理要追本溯源就来于此。相邻论的一个重要公式是：
f（n）=2n
一维空间的最优化相邻组合元素是2，求二维空间的最优化不同类相邻组合元素，可将维数变量2代入相邻论公式，可得：
f（n）=2n
f（2）=2n=4
故4就是平面的最优化组合元素，这就是为什么区分地图四色足够的内在原因，由此四色猜想也就得到了证明。另文将细化这一证明。以下直观理解下哥猜的几何化证明。
“可表偶数与非可表偶数之并集同全体偶数格网线条”等价定理：2n个奇素数可区分的n维线条以及不可区分的n维线条，定含大于6的所有偶数格网线条。
证明：任意给定n维空间，连接成一条对称格网线条2k时，都可用2n个不同的两奇素数对称格网线条区分。此区分又叫可表偶数区分（即“n维空间最优化区分数”定理，后文将证明这一定理。在这里先假设，只是完成了局部区分，还有例外偶数的区分。）
在偶数8的基础上后继每添加一条对称格网可表线条，都可用两素数区分，根据皮亚诺公理，n条不同的对称格网线条，连接成n条对称格网线条分别为2k时，也就都可以用两素数区分。而2n个素数连和可以表达大于6的n维空间中的所有对称格网线条2k，可见大于6的所有偶数无论是用可表偶数区分，还是非可表偶数区分，都是可用偶数个素数区分的。即一对的可表偶数和n对的非可表偶数之并集等于大于6的全体偶数。费马螺线模型直观描述了这一判定。
素数因子封闭定理：2个奇素数可区分的一维连接的线条，定含所有的奇素数因子，线条解集存在所有的几何部件。仅能首尾一维连接的空间叫几何部件，几何部件等价素数，几何部件非一维连接等价合数，合数属于几何结构。
证明：根据互素关系，在p+3=m中，已知线条p为所有素数，线条m必为一条不含3因子而含其他因子的偶合数；
将3换成5，在p+5=m中，已知线条p为所有素数，线条m必为一条不含5因子而含其他因子的偶合数。
在p+q=m中，已知线条p、q为所有奇素数，线条m必为不含q因子而含其他因子的偶合数，由于每次不含的素数都可以在其他组合中获取，故m是含所有奇素数因子的偶合数。m若缺位奇素数因子r，那么m必不含2nr,2nr-3就一定是合数。
若是素数，2nr就是可表偶数了，p就不能包括所有素数了；
若是合数，就一定不含素数r或3或p，否则矛盾。
p可以是r以外的任意素数，由于2nr-p累积每次皆不含p因子和r因子，故无素因子可加性互异互素构造出2nr-p，当然也就构造不出2nr，故m不会有任意奇素数因子缺位。可见奇素数加法二元运算，值域可表偶数虽不是封闭的，但其奇素数因子域是封闭的。如果单因子数叫几何部件，那一维空间数就叫几何部件。也就是说几何部件加几何部件，从几何部件全集上看，不会产生新的几何部件，也不会丢失旧的几何部件。但子集部件相加会不停地扩域。这个结论将对证明霍奇猜想有用。
“一维空间可表偶数与二维空间可表偶数”等价定理：4素数可区分的对称格网线条，也可用2素数区分，2素数不能区分的线条，4素数也不能区分。即奇素数可表三素数定理成立（前文已证明），二素数定理也就成立。
证明：因为AB+BC=AC´∪非AC´=AC，由于其本原解方程必三元互素，如果非AC´不能用两素数区分，则属另类对称格网线条，其本原解与AB、BC必互素互异，由于互异的可表偶数的素数因子定义域充满所有素数（上文已证），而可表偶数AC´与可表偶数AB、BC除互素外，且在可表偶数域上每次互异，累积非互异，那么非AC´若不能两素数区分就一定是空集，因为又要互素，又不能使用AB和BC中的素因子，这是互异关系假设下的必然结论。二元线性空间都有二元素数基底，若非AC´没有二元素数基底，故非AC´就是空集。根据已知AB、BC囊括了所有的素数因子，AC由AC´以及非AC´构成，而这样的补集是空集，故AC就等于AC´。故AC一定也是可用两素数区分的对称格网线条，即也是可表偶数。凡能四素数区分平面空间，就定能二素数区分一维空间。二元加法运算在二维空间的可表偶数上是封闭的。
用几何直观思维再简洁证明之。一根素数多项式可表的格网线条是素数二项式可表的偶数2k，一分为二挂在手指上，现延伸两格成2k+2，根据伯特兰-切比雪夫定理，新增素数就大于k，不大于k的素数为已有素数，那么2n个加项的素数多项式如果更换2n-1个素数等价1个以上新增素数来构造可表偶数的后继偶数会“过犹”，2n个加项的素数多项式如果更换2n-1个素数等价一个以下新增素数来构造可表偶数的后继偶数会“不及”，因此素数二项式如果不能通过更换1个新增素数来构造2k+2，那么素数四项式也不能构造表达2k+2（因为前文已证明素数二项式与素数四项式等价），继而素数多项式也不能表达2k+2，而素数多项式是等价算术基本定理的，是可以表达所有偶数的，这就与算术基本定理矛盾。为了取中庸思想，不再过犹不及，于是可表偶数之后继偶数也必须素数二项式可表就必须成立。再列举初项8=3+5是可表偶数，10=3+7是可表偶数，现已证明假如2k是可表偶数，则2k+2也是可表偶数。
另外素数多项式与素数二项式在大于14的偶数区间没有不共空间。假如有不共空间A和B（A和B皆不能自身相邻），A将把B分割，这样可表偶数B才不存在彼此相邻的偶数，但是可表偶数除了有无穷无漏个2p外，还有无穷无漏个可表偶数2m是含4因子的（因为除了1个2因子，其他必是1个以上2因子的），于是A将无法同时相邻分割B，分割了2p就不能分割2m，反之亦同。这就与“A和B无公共空间”相矛盾。可见“素数多项式与素数二项式在大于14的偶数区间有不共空间”是假命题。
根据数学归纳法，所有不小于8的偶数都是可表偶数，都可以用两互异的奇素数之和表示。于是哥猜获证。
以下顺带研究一下高维空间最优化区分问题。
“n维空间最优化区分数”定理：f（n）=2n，即n维空间的2n个奇素数相加，都能得到全体偶数（有限项较小偶数对应除外）。
例外偶数都是空集，即一维空间最优化数f（1）=21所对应的可表偶数，与大于6的所有偶数等价。于是哥猜命题也就得到了证明。加上2+2=4, 3+3=6，大于2的偶数都可以用两素数之和表示也就顺带得到了证明。到此用几何法相邻论就证明了偶数强哥德巴赫猜想原题是成立的。另外，用“n维空间最优化区分数”定理，可以证明四色猜想、蜂巢猜想、庞加莱猜想等。“二维空间可表偶数与n维空间全体偶数”等价定理，这个定理与庞加莱猜想的本质是一致的，“任何一个单连通的、闭的三维流形乃至高维流形一定同胚于一个三维的球面”。同胚，显示了拓扑对象其整数素数性质的不变性。本定理是庞加莱猜想的命题内核。