3.2．用最简本原解方程的规则完成证明互异版哥德巴赫猜想

本章节可独立完成证明互异版哥德巴赫猜想，希望快速了解哥猜证明的读者可从此处直接开始阅读。即从分析“偶数分拆方程通过数乘消去律可获得本原解方程”，继而“偶数分拆方程通过内积消去律可获得最简本原解方程”；再根据定义“例外偶数无最简本原解”，故“还原消去律获得的例外偶数通解也必是空集”。任意偶数是可表偶数和例外偶数的并集，既然例外偶数是空集，由此就证明了可表偶数完全等价任意偶数，于是哥猜获证。

（1）我们把任意偶数拆分为两个不同奇数的三元方程，消解共因子后可约化为互素方程：

p1^a1p2^a2p3^a3…pi^ai+q1^b1q2^b2q3^b3…qi^bi=2n，

可简化为：

ap+bq=2n

（注意：等式左边的全集偶数2n没有缩减数集，右边的两项奇数已无共因子解集匹配出现，但全集奇数数集未变）。

即通过数乘消去律，消去最大公因子，把上式变为不可约多项式方程。其中p、q、a、b互素，且p、q为互异奇素数，a、b为自然数，n为＞3的自然数。

由于n与2n之间定有素数（伯特兰-切比雪夫定理），故每个偶数都可以拆分为两个互素的奇数项相加。即2k对奇素数连和可获得不小于8的所有偶数，这个结论与算术基本定理等价，任意自然数可用素数乘性表达，也可用素数加性表达。

于是每次可令第一项与2n互素，必三元互素，否则有分数，这与差值必有整数解矛盾。所以2n的拆分方程其本原解就是2n自身，与原方程解集一样，未发生数域扩张或数域缩减。

每次2n减去该新素数所得到的奇数差值必与该新奇素数互素。因为可设定它与2n互素，就必与差值互素，且存在互素的奇数对，包含其中有素数项。到此已完成了所有偶数不等量分割且互素的证明。

总之每一个偶数都能成功拆分为两个互素奇数之和。保证了原方程解集是2n全集。为何能保证本原解2n还是偶数全集？因为分割时，始终保留一项与2n互素，从而必三元互素，即：

ap+bq=2n

其中p、q属于所有奇素数，n属于大于3的所有自然数，a、b属于所有自然数，a=1时，p＞bq，且ap、bq、2n三元（项）互素。

即可简化为：

p+bq=2n

（注意：等式左边的全集偶数2n没有缩减数集，右边的一项素数和一奇数已无共因子解集匹配出现，但全集奇数数集和全集奇素数集未变）。

（2）再把2n拆分得到的本原解方程，经内积逆运算后可约化为最简本原解方程（即两素数拆分可表偶数的方程）。通过约化得到最简本原解方程，是根据内积消去律实现的，该类约化须保留线性相关组，消去匹配的正交基，根据某项未知数的解集要求，就可约化得到匹配的最简本原解方程。总之，可得到系数最简洁的方程。

由p+bq=2cm=2n可知，核空间向量（p, q, -2m）与向量（1, b, c）T是一对正交基，（1, b, c）T为线性无关组或线性相关组。根据可表偶数定义p+q=2m，可知（p, q, -2m）为线性相关组（其中1, b, c为正整数）。即所有大于6的偶数解向量或任意多项式表达的偶数解向量皆可由二元互异素数基础解系线性表出，其中素数含所有奇素数。该命题可根据伯特兰定理和三元互素方程性质以及线性代数规则证明成立。

p+q=2m（可知2m的数乘等于2n，即2n的通解是2m的数乘，2m是本原解方程、也是原方程的素数基础解系，其中p、q为互素奇素数）。

也就是说，可表偶数方程p+q=2m就是偶数本原解方程p+bq=2n的素数基础解系方程；同样，原偶数拆分方程p+bq=2n就是素数基础解系方程p+q=2m的通解方程。即最简本原解方程p+q=2m在本原解方程的基础上根据内积消去律消去了属一对正交基的向量组（1, b, c）T。最简本原解通过还原两类消去律，将得到所有通解。在这里素数基础解系就是素数核空间，就是素数基底解集。c是特征值的项数均值，特征向量不存在，c就不存在。

到此我们证明了一个重要引理：偶数不等量分割方程的整数解二维线性空间必有互异素数基底。

（实数解需要选择公理来证明，于是可用选择公理直接得到该引理；但整数解不需要，用偶数不等量分割方程外加伯特兰-切比雪夫定理即可完成整数解二维线性空间必有素数基底的证明，上文已经完成。当然还可以通过内积消去律得到极简本原解，比最简本原解更本原，即根据素数二维线性空间能抽离出，“1+1=2”或“1+p=2s”，但因该形式不能直接描述可表偶数，故不纳入素数基底解系的定义中。）

我们再来看可表偶数的定义：所有奇素数两两相加所得的和2m皆为可表偶数，2m´为不同于可表偶数的例外偶数，那么2m就是2n拆分方程的最简本原解。而所有偶数的通解2n则等于2m和2m´的并集，或者2n可通过2m的数乘得到2mc=2n。

（3）于是根据定义可推理得到，例外偶数2m´不存在二维线性空间的最简本原解。也就是说例外偶数不存在素数基底解。我们知道所有的线性空间都有基，进一步说都有二维向量素数基底。

cf（x+y+z+…）=cf（x+y）=af（x）+bf（y）=x+y；

x+y=af（x）+bf（y）=cf（x+y）=cf（x+y+z+…）；

其中x, y, z, …为奇素数，a, b, c为实数（含整数），

上一个等式从左可推得右，满足内积逆运算、外积逆运算；

下一个等式也可从左推得右，满足内积运算、外积运算。

因此同构等式关系亦成立。

如果例外偶数2m´有最简本原解，2m´=p+q，因为彼此互素，不能再简化，那么例外偶数就是自身的最简本原解，就是可表偶数，这与例外偶数不含可表偶数的定义发生矛盾。正是例外偶数的定义决定了它没有二维线性空间的素数基底，它不能用两素数之和表示。

（4）还可以推理得到，例外偶数2m´的最简本原解集既然是空集，当然其数乘以及点乘后的解集即通解也必是空集。

整系数矩阵与素数二元基础解系的线性组合就是偶数解向量。

若偶数子集解向量的素数二元互异基础解系为空集，则它的通解亦为空集。

根据定义，例外偶数无素数二元互异基础解系，故例外偶数的通解是空集。

如果例外偶数2m´没有最简本原解，2m´≠ p+q，那么例外偶数的原方程也就没任何通解。因为原方程所有解都是最简本原解（素数基础解系）的数乘以及点乘，最简本原解是空集，它的数乘以及点乘也必是空集。总之，例外偶数横竖是空集，可得同构等式2n=2m∪2m´=2m∪Ø，故2n=2m。于是可证2n=p+q为同构等式，其中n＞3, p、q互素且为所有奇素数。

于是互素版哥德巴赫猜想获证，6可以用非互素版的3+3表示，把它填补上，就完成了欧拉版哥德巴赫猜想证明，因为前者互素版强命题可证明后者欧拉版，后者弱命题不能直接证明前者强命题。另外，用p-q=2m定义可表偶数，一样可证明2m的数乘封闭，从而可证明斋藤猜想、孪生素数猜想和波利尼亚克猜想成立。