1.4．相邻论：互异互素关系的对象有互补的并集

相邻论定义，相邻素数是无漏的，可次第延伸后继量，用差值线性迭代函数f（f（p+q））=p+q+2可迭代描述相邻偶数，对应邻函数的连和表达部分alad∑p。（这个相邻论判定与皮亚诺公理等价）

（p+q）的线性映射函数可以表达（p+q）的后继偶数。如果（p+q）不能表达（p+q）的后继偶数，那么（p+q）的线性映射函数也不能表达该后继偶数。迭代函数生成元与生成对象每次的解集不同，但累积的解集相同，生成元的仅初项除外。我们知道：

（A+A）∩A=Ø，则二元加法运算在A上仅生成新元素叫作无和集（扩域不保值），无和集就是加法二元运算全都生成了新元素；

（A+A）∪A=A，则二元加法运算在A上封闭叫作全和集（保值不扩域），全和集就是加法二元运算不产生新元素。

全和集意味着，所有的未来都是历史，但历史不仅是未来，历史与未来是同态单射关系，历史是蕴含未来的，未来仅跟局部历史同构，未来因必须选择而产生分支并遗漏分支。没有一成不变的历史，历史总是不断觉醒的。历史简单是因为我们未选择认知其他被遗忘的分支。

k个素数均值都是素数k项式（后文将证明），但素数k项式未必是k个素数均值。唯有2个素数均值都是素数二项式（后文将证明），且素数二项式也是2个素数均值。同态关系是同构关系的推论（因为封闭难产生新认知），但同构关系又是更深刻同态关系的推论（因为开放易产生新认知）。同态次第是普遍情形，同构对称是特殊情形。线性是整体的，后继的非线性反而是局部的，唯有前继的非线性才是超越整体的。故在可表达的世界里，加性数论比积性数论更根本。

这个结论可得到，两个素数之和可以迭代表达后继偶数，而这个命题就是哥德巴赫猜想。所有的迭代函数都是二元运算封闭的（须证明，后文完成）。而在可表偶数域上的二元加法运算也是封闭的。生成元属于后继邻函数或局部属于后继邻函数（皮亚诺公理），后继邻函数属于生成元且全部属于生成元（选择公理）。人们对后者普遍认知不足，没去细想选择公理会比皮亚诺公理更基本。用相邻论使哥猜获证，意味着前继非结合代数、前继非交换代数有极大的发展空间。

假如两素数之和的差值线性迭代函数f（f（p+q））=p+q+2不能迭代描述其相邻偶数，那么将线性迭代函数的两对素数之和自变量生成元换成n对素数之和，也必不能迭代描述其相邻偶数。所谓迭代表达式就是把变量原值代入所给的表达式算出一个变量新值后，再把也可素数二项式表达的变量新值当作变量原值代入表达式。这个表达式叫素数二项式生成偶数的迭代表达式。

若素数二项式线性迭代函数f（f（p+q））≠p+q+2，

则 f（f（p+q））≠p+q+4，

继而 f（f（p+q））≠p+q+6，

…，

于是 f（f（p+q））≠p+q+2n。

即 f（f（p+q））≠p+q+p1+q1（p1+q1是多次2的相加迭代表达）；

f（f（p+q））≠p+q+p1+q1+…pi+qi（p1+q1+…pi+qi也是多次2的相加迭代表达）。

因为素数二项式迭代函数一旦两个初始自变量生成元不成立，换成任何迭代后的自变量生成元自然也就没有条件成立。这等于假定皮亚诺公理中的1不存在，那自然数就不存在。即素数多项式是素数二项式的线性映射，素数多项式的后继偶数也是素数二项式的线性映射。如果素数二项式不能表达素数多项式的后继偶数，那么素数二项式的线性映射也不能表达素数多项式的后继偶数。

故相邻论就是哥德巴赫猜想的核心思想。相邻论的通俗表达，就是“兵熊熊一个，将熊熊一窝”。

相邻论关注数列后继量的唯一性。发现了全和集与无和集关系，本原解与基底解关系，对称解与相邻解关系，互素集与互异集关系。素数的后继素数定有且只有一个，“定有”说明素数的相邻延伸是无穷的（欧几里得用反证法已完成证明），“只有”说明素数的相邻间隔是无漏的，不能多冒出一个，也不能少冒出一个。整数类数集的函数数序排列都可以与自然数序构成定格型一一映射关系。紧致递增素数序与紧致递增自然数序一样，仅有一种排序。康托尔把具有该种性质的无穷数集叫等势，即两种无穷集合的元素个数一样多。一切连接都基于相邻，它侧重于理性思维，对应开放公理和逻辑部分，是一种线性的连接规则。特别像观察者有序分类的量子论思想。

顺其自然与独立自由的价值观，是相邻论数学思想的具体体现。万物之外都有一个完美并集，这个完美并集就是最圆树冠，就是全集序数1，就是时间之始，有了完美并集才可有序编排万物。命题相关的两个对象若有并集，未知就必将知道且能够知道，希尔伯特的宏伟计划说的就是这个意思。相邻论就是通过相邻递推来找到完美并集，因为超级宇宙只有一个，所以完美并集，类似潜无穷最终一定会有，而最终会有又是非最终会有即实无穷的一个子集，但实无穷又是超级潜无穷的一个子集，如此交替延伸人类思想的边界。于是，我们就得到了这样一个重要数学思想，即一种通过全集元素的“并集”来寻找全集序数1的成长机制，让无根据的元素变得在一定范围里有序列，但该“并集”只是临时镜像，通过全集元素更细密的归一，可找到更深刻的“并集”。在抽象的非交换或非结合代数中，数学家常常用同态关系来捕捉素数基底，使不变的初心包容万象，此方法我们把它叫相邻论。一切连接都基于相邻。相邻论侧重于逻辑思维。

相邻论是研究差值规律的，而哥猜是研究差值与均值之间关联的。证明数学猜想时，开始常常用具有同构关系的、研究均值规律的重合法来初步完成筑基证明，最后常常用具有同态关系的、研究差值规律的相邻论来优化完成封顶证明。

相邻论比重合法更具有兼容性，非等量先于等量存在，是一种更幕后的等量存在，湮灭了粗糙的等量，是先有序列，而后才有等量，等量现象是因为有差异才发生的，否则等量世界只会是一潭死水。一个苹果加一个橘子等于两个水果（勉强表达1+1=2），宇宙中找不到两个相同的个体，因此所有的1+1=2并不都准确合理，显示了等量是非等量的近似描述。这也是哥德尔（Gödel）认为公理体系不完备的理由。一般来说，蕴含同构关系的同态关系更加深刻，相邻论比重合法更加根本。k个素数p相加蕴含自然数n的k倍数是常态，而自然数n的k倍数蕴含k个素数p相加仅存特例。前者常态是相邻论，后者特例是重合法。常态获证哥猜即获证。

哥德巴赫猜想仅用素数对应的自然数序列就成功描述了素数之间的迭代关联。NP完全问题可作如是观。只要世界可用至简的1有效区分，未知量就可以用已知量迭代表达。相邻论的一个重要思想就是，第一相邻量将决定所有的后继迭代量。中国剩余定理已经解决了此问题。但真正的差异化个性化存在，是不可能被一劳永逸表达的，故不但没有通项表达式，也没有既定的迭代表达式。

相邻偶数和相邻素数都是无穷无漏的。素数无穷性证明，欧几里得已经完成，通过欧拉乘积公式也可以得到证明，这里不再叙述，直接用前人的判定定理。素数的无漏性证明，通过皮亚诺公理可以完成，整数在一维空间上的递增，后继数有且只有一个，素数的后继数也定有且只有一个，因此所有的后继素数集结，同自然数映射必是无漏的。

恒等式的扩域或缩域，是通过相邻论的思想来实现的。如果重合法强调集合的思想，那相邻论则强调序列的思想，对应到社会学就是和平与发展两大主题。