3.3 弹性模型
3.3.1 “弹性模型”与“本构关系”
当材料的位移与施加的载荷成线性比例时,并且当载荷消除时材料恢复到其未变形的状态时,材料的这种行为称为弹性。
对于弹性材料,应力与应变成正比,如式(3-1)所示。
其中:
[D]:弹性(各向同性、各向异性或正交各向异性)材料或材料刚度矩阵。
{σ}:总应力向量。
{ε}:总应变向量。
{εt}:热应变向量。
上述规则是一种近似法。对于某些类型的材料,只要应变很小,该规则就有效。上述公式称为“本构关系”。尽管线性弹性材料的本构关系采用这种简单形式,但对于非线性材料,本构关系会相当复杂。
3.3.2 线性弹性材料模型的假设
线性弹性材料模型遵循线性假设和弹性假设。
1.线性假设
所引起的反应与应用的载荷成正比。例如,如果载荷量加倍,则模型的反应(位移、应变或应力)也将加倍,如图3-2所示。
图3-2 材料的线性假定图示
如果满足以下条件,就可以做出线性假定。
●最大应力位于“应力-应变”曲线的线性范围之内。该曲线是一条从原点开始的直线。随着应力的增加,材料在某个应力水平以上表现出非线性行为。此假设表明应力应该在此水平以下。某些材料(如橡胶)即使对低应力也表现出非线性“应力-应变”关系。在线性材质中,应力与应变“线性相关”。直线的斜率为材质(E)的弹性模量,如图3-3所示。
图3-3 线性材质的“应力”与“应变”相关性图示
●计算所得的最大位移远远小于零件的特性尺寸。例如,板的最大位移必定远远小于其厚度,柱的最大位移也远远小于其横截面的最小尺寸。横梁的最大位移必须比其横截面的最小尺寸小很多。
如果不满足此假定,则必须使用非线性分析。
2.弹性假设
载荷不会引起任何永久变形。换句话说,假设模型是理想弹性,当载荷消除时,理想弹性模型会恢复至其原始形状。
如果不满足此假定,则必须使用非线性分析。
3.3.3 “同向性”材料和“正交各向异性”材料
1.同向性材料
如果材料的机械和热力属性在所有方向上都相同,材料的属性不随方向而变,则该材料为“同向性”,此材料称为“各向同性材料”或“同向性材料”。同向性材料可以具有均匀或非均匀的微观结构。例如,尽管钢的微观结构为非均匀的,但钢会表现出“同向性”行为。
2.正交各向异性材料
如果材质的机械属性是唯一的,并且不受三条相互垂直轴的方向影响,即材料的机械和热力属性在三个相互垂直的方向上都是单值的,并且是独立的,则该材料为“正交各向异性”材料,或称为“正向性材料”。木材、许多晶体和轧制金属便是典型的“正交各向异性”材料。
例如,木材某点的机械属性是以纵向、径向及切向三个方向进行说明的。纵向轴(1)与纹理平行,径向轴(2)与年轮垂直,而切向轴(3)则与年轮相切,如图3-4所示。
图3-4 “正交各向异性”材料
3.3.4 线性弹性同向性模型
各向同性材料在各个方向具有相同的弹性模量、泊松比、热扩张系数、热导率等。等温一词有时用来表示对热扩张系数没有首选方向的材料。
1.“线性弹性同向性”材料的属性
“线性弹性同向性”材料的属性如表3-2所示,但根据具体的材料不同,其属性也会有所不同。
表3-2 “线性弹性同向性”材料的属性内容
“同向性材料”的弹性属性由“弹性模量(E)”和“普阿松比率NUXY(泊松比vxy)”定义。同向性材料可以具有均匀或非均匀的微观结构,例如,钢材具有各向同性性能,但其微观结构是非均匀的,但在各个方向具有相同的弹性模量、泊松比、热膨胀系数、热导率等。
注意
表中的项目内容由于计算机的原因,其表示方式与实际习惯使用的表示方式有所不同,例如:
●E(弹性模量),即为公式和其他地方的“弹性模量(E)”。
●NUXY(普阿松比率),即为公式和其他地方的“泊松比(vxy)”。
●GXY(抗剪模量),即为公式和其他地方的“抗剪模量Gxy”。
●kgf/cm2即为:kgf/cm2等。
(1)弹性模量(E)
对于线性弹性材料而言,“弹性模量”是导致材料中单位应变所必需的应力。换言之,是被相关应变所除的应力。弹性模量由Young首次提出,通常称为杨氏模量。
(2)泊松比(vxy)
材料纵向的伸长伴随着横向的收缩。例如,如果实体受到X方向的拉力,则“泊松比”vxy定义为Y方向上的横向应变除以X方向上的纵向应变。泊松比是无因次量。如果不定义,程序将默认为0。
为了定义同向性弹性属性,可以输入以下任何两个属性的组合:弹性模量E、泊松比vxy和抗剪模量Gxy。如果未指定第三个属性,则在程序内部使用公式(3-2)计算:
为定义各向同性弹性属性,必须定义弹性模量E。如果未指定具体的值,该程序将假定泊松比v的值为0.0。泊松比的常用值是0.3。即使明确指定了值,抗剪模量G也由该程序内部计算得出。
同向性材料的“刚度”矩阵只包含两个独立系数,下面描述二维和三维中包括热应变效应的同向性“应力-应变”关系。
2.二维同向性“应力-应变”关系
对于具有平面内负载的问题,使用适合于二维“应力-应变”关系平面要素执行有限元素分析。二维中的变形状态可以是平面应力或平面应变,不管哪种状态占主要,所考虑的平面(通常为X-Y平面)必须是弹性对称平面。
3.3.5 线性弹性正交各向异性模型
与同向性材料相比,正交各向异性材料具有互相垂直的首选强度方向。沿这些方向(也称为主要方向)的属性是弹性系数的极限值。
1.“线性弹性各向异性”材料的属性
“线性弹性各向异性”材料的属性如表3-3所示,但具体的材料不同,其属性也会有所不同。
表3-3 “线性弹性各向异性”材料的属性内容
2.为实体定义正交各向异性属性材料
整个零部件中的正交各向异性材料方向是根据所选的参考几何体定义的。
如果加工零件后使得这样定义方向不再正确,则应该将零件作为几个不同的零件建模,以便正确定义正交各向异性方向。例如,如图3-5所示具有圆柱体和长方体的零件。
图3-5 具有圆柱体和长方体的零件
对于此类零件,需要分为两部分建模:圆柱和长方体。然后,可以使用基准面作为定义平面类的正交各向异性材料方向的参考几何体。
例如,考虑如图3-6所示的零件,需要将这个零件建模成两个零件:圆柱体和平板。然后,可以使用基准面作为定义平板的正交各向异性材料方向的参考几何体,而使用圆柱的轴作为圆柱的参考几何体。
图3-6 具有圆柱体和平板的零件
使用基准面作为参考几何体定义正交各向异性材料的X、Y和Z方向,如图3-7所示。
图3-7 使用基准面
当一个平面(或平面的面)被用作参考几何体时,平面的方向1将与材料的X方向对齐,平面的方向2将与材料的Y方向对齐,平面的法向将与材料的Z方向对齐。
下面列出了当你选择前视、右视或上视平面中的一个作为参考几何体时,其相对于全局坐标系的方向。
正面:
●方向1与全局X方向对齐。
●方向2与全局Y方向对齐。
●平面的法向与全局Z方向对齐。
右侧:
●方向1与全局Y方向对齐。
●方向2与全局Z方向对齐。
●平面的法向与全局X方向对齐。
顶部:
●方向1与全局Z方向对齐。
●方向2与全局X方向对齐。
●平面的法向与全局Y方向对齐。
要确定参考平面的方向1和方向2,在应用约束或载荷时,将该平面选作参考几何体,然后选择“显示预览”。
而使用圆柱的基准轴作为圆柱的参考几何体。使用基准轴作为参考几何体定义正交各向异性材料的径向、正切和轴向方向,如图3-8所示。
图3-8 使用圆柱的基准轴
●为圆柱体指定正交各向异性材料。
(1)分割特征管理器设计树。
分割特征管理器设计树和Simulation管理程序树,使特征管理器设计树和Simulation管理程序树可以同时被看到。
将指针放在Simulation管理程序树顶部,直到指针变为。将控制条向下拖动到特征管理器设计树中最后一个项目的下方,释放鼠标按键以显示特征管理器设计树,如图3-9所示。
图3-9 分割特征管理器设计树
(2)单击Simulation主工具栏上“运行算例”按钮,或单击菜单命令“Simulation”|“运行”,或右键单击Simulation管理器设计树中的零件名称,并在弹出的快捷菜单中选择“算例”命令,打开“算例”属性管理器。
在“算例”属性管理器的“名称”选项组中执行下面的操作。
➢ 在“名称”文本框中键入:算例-1。
➢ 在“网格类型”下拉列表中选择“实体网格”选项。
➢ 在“类型”选项组下,单击“静态”按钮。生成如图3-10所示的“算例-1”。
图3-10 生成算例
(3)在特征管理器设计树中,单击所需的参考几何体:“基准轴1”。如果要为多个零部件指派正交各向异性材料,请在单击零部件图标时按住Ctrl键。如图3-11所示。
图3-11 选择参考几何体
(4)在Simulation管理程序树中,选择要定义正交各向异性材料的零部件。
在Simulation管理程序树中用右键单击选择的零部件的“实体”文件夹,然后在弹出菜单中选择“应用/编辑材料”命令,如图3-12所示。
图3-12 选择“应用/编辑材料”命令
(5)出现一个信息框,询问是否要将参考几何体从全局更新为在上述步骤中所选的参考几何体“基准轴1”,如图3-13所示。
图3-13 信息框
(6)单击“是”按钮,打开“材料”对话框,如图3-14所示。
图3-14 打开“材料”对话框
在“材料”对话框中,执行以下操作。
➢ 在“选择材料来源”选项组下,单击“自定义”按钮。
➢ 在“材料模型”选项组中,设定类型为“线性弹性正交各向异性”。
➢ 确保所选参考几何体“基准轴1”出现在“参考几何体框”文本框中。
➢ 选择所需的单位。
➢ 在“材料属性表”的数值栏下,输入材料属性的数值。
(7)单击“确定”按钮。
(8)用同样的方法,使用“基准轴2”为另一个圆柱体定义正交各向异性属性材料。
●为长方体指定正交各向异性材料。
(1)在特征管理器设计树中,单击所需的参考几何体:“前视基准面”,如图3-15所示。
图3-15 选择“前视基准面”
(2)在Simulation管理程序树中用右键单击“实体”文件夹,然后在弹出菜单中选择“应用/编辑材料”命令。
(3)在信息框中单击“是”按钮,打开“材料”对话框。
在“材料”对话框中,执行以下操作。
●在“选择材料来源”选项组下,单击“自定义”按钮。
●在“材料模型”选项组中,设定类型为“线性弹性正交各向异性”。
●确保所选参考几何体“前视基准面”出现在“参考几何体框”文本框中。
●选择所需的单位。
●在“材料属性表”的数值栏下,输入材料属性的数值。
(4)单击“确定”按钮。
3.为外壳定义正交各向异性属性材料
对于平面外壳,选择与外壳平行的基准面作为参考几何体。X和Y轴位于基准面上,Z轴与基准面垂直。对于圆柱形外壳,选择圆柱的参考轴作为参考几何体。Y轴与圆柱的轴平行,X轴与圆柱相切,如图3-16所示。
图3-16 选择外壳的参考几何体
外壳的基准面是由3个边角定义。Simulation程序转换参考几何体所定义的坐标系,使Z轴与外壳的基准面垂直。
●如果所选参考几何体的X轴与外壳基准面的法线(Z轴)之间的角度大于45°,程序将参考几何体的X轴投影到外壳基准面上来定义修改的X轴。
●如果所选参考几何体的X轴与外壳基准面的法线之间的角度小于45°,程序将参考几何体的Y轴投影到外壳基准面上来定义修改的X轴。
●然后定义修改的参考几何体的Y轴以完成右手笛卡儿坐标系。
为“外壳”定义正交各向异性属性材料与上述为“实体”定义的正交各向异性属性材料的方法相同。
3.3.6 非线性弹性材料模型
非线性弹性材料模型可以用于“实体”和“外壳”网格。如图3-17所示是非线性材料模型典型的“应力-应变”曲线。
图3-17 非线性材料模型典型的“应力-应变”曲线