2.1.5　模糊集的分解定理

分解定理是模糊数学理论发展的重要组成部分，它给出了如何把F集分解成普通集，从而可把F集里的问题化成普通集里的问题来讨论，前文介绍的λ截集概念，实际上给出了一种把F集化为普通集的方法。

定理2.1（分解定理）　设A∈F（U），则

证明：

∀u∈U，则有

由于λ与A_λ（u）之间的大小不确定，为此给出如下讨论：

当λ≤A（u）⇒u∈A_λ⇒A_λ（u）=1⇒λ∧A_λ（x）=λ

当λ>A（u）⇒u∉A_λ⇒A_λ（u）=0⇒λ∧A_λ（x）=0

所以

即

F集λA_λ的隶属函数

分解定理反映了F集与普通集的相互转化关系。

例2.8　设F集，取λ截集，得到

　　　　　　　　　　　　　A₁={u₃}

　　　　　　　　　　　　　A_0.9={u₁，u₃}

　　　　　　　　　　　　　A_0.7={u₁，u₃，u₄}

　　　　　　　　　　　　　A_0.3={u₁，u₃，u₄，u₅}

　　　　　　　　　　　　　A_0.1={u₁，u₂，u₃，u₄，u₅}

将λ截集写成F集的形式，例如。于是按数与F集的乘积定义，得

应用分解定理即可构成原来的F集

推论：已知F集A的各λ截集为A_λ，λ∈[0，1]，则∀u∈U，有

例2.9　设U={u₁，u₂，u₃，u₄，u₅}，

试求出F集A。

解：

由于含有元素u₁的一切A_λ中，最大的λ值为0.7，所以A（u₁）=0.7；含有元素u₂的一切A_λ中，最大的λ值为0.5，所以A（u₂）=0.5；类似可得A（u₃）=1，A（u₄）=0.2，A（u₅）=0.6，于是F集A可表示为