1.2.5　关系的矩阵表示

关系的表示方法很多，除了用直积的子集表示外，对于有限论域情形，用矩阵表示在运算上更为方便。有限集之间的关系可用矩阵表示。设

X={x₁，x₂，…，x_n}，Y={y1，y₂，…，y_m}，R∈P（X×Y）　　（1.3）

令

将R写成矩阵，有，矩阵的行数n为X中元素的个数，列数m为Y中元素的个数，r_ij=1⇔x_iRy_j。关系矩阵中的元素或是0或是1，在数学上把诸元素只是0或1的矩阵称为布尔（Boole）矩阵。因此，任何普通二元关系的矩阵都是布尔矩阵。

例1.6　X={2，3}，Y={1，2，3，4}，从X到Y的小于关系为

则R可写成矩阵形式。

R={（x，y）|x<y，x∈X，y∈Y}={（2，3），（3，4），（2，4）}　　（1.5）

关系的各种运算可在矩阵中进行。

若R₁=（r_ij）_n×m，R₂=（s_ij）_n×m，则

R

₁∪R

₂=（m ax（r_ij，s_ij））_{n × m}，R

₁∩R

₂=（min（r_ij，s_ij））_{n × m}，=（1-r_ij）_{n × m}，R^-1是R的转置。

如果两关系均用矩阵表示，则复合关系可用类似于矩阵乘法的方法得到，“乘”换成“取小”，“加”换成“取大”。

例1.8　设X={x₁，x₂，x₃，x₄}，Y={y1，y₂，y₃}，Z={z₁，z₂，z₃}，从X到Y的关系R={（x₂，y₃），（x₃，y₁），（x₄，y₃）}，Y到Z的关系Q={（y₂，z₃），（y₃，z₁）}，求。

解：

从而，={（x₂，z₁），（x₄，z₁）}。与定义式直接运算的结果一致。