2.4　关系代数

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2.4.1　概述

2.4.2　传统的集合运算

1并（Union）

·R和S

具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），相应的属性取自同一个域。

·R∪S

仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成，R∪S＝{t|t∈R∨t∈S}。

2差（Difference）

·R和S

具有相同的目n，相应的属性取自同一个域。

·R－S

仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成，R－S＝{t|t∈R∧t∉S}。

3交（Intersection）

·R和S

具有相同的目n，相应的属性取自同一个。

·R∩S

仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组，R∩S＝{t|t∈R∧t∈S}，R∩S＝R－C（R－S）。

4笛卡尔积（Cartesian Product）

·严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

·R：n目关系，k₁个元组

·S：m目关系，k₂个元组

·R×S

列：（n＋m）列元组的集合

元组的前n列是关系R的一个元组

后m列是关系S的一个元组

行：k₁×k₂个元组

2.4.3　专门的关系运算

先引入几个记号

（1）R，t∈R，t[A_i]

设关系模式为R（A₁，A₂，…，A_n）

它的一个关系设为R；

t∈R表示t是R的一个元组；

t[A_i]则表示元组t中相应于属性A_i的一个分量。

（2）A，t[A]，A(＿)

若A＝{A_i1，A_i2，…，A_ik}，其中A_i1，A_i2，…，A_ik是A₁，A₂，…，A_n中的一部分，则A称为属性列或属性组。

t[A]＝（t[A_i1]，t[A_i2]，…，t[A_ik]）表示元组t在属性列A上诸分量的集合。

A(＿)则表示{A₁，A₂，…，A_n}中去掉{A_i1，A_i2，…，A_ik}后剩余的属性组。

（3）

R为n目关系，S为m目关系。

t_r∈R，t_s∈S，称为元组的连接。

是一个n＋m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。

（4）象集Z_x

给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。

当t[X]＝x时，x在R中的象集（Images Set）为：Z_x＝{t[Z]|t∈R，t[X]＝x}

它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。

x₁在R中的象集

x₂在R中的象集

x₃在R中的象集

象集举例：

（5）学生-课程数据库

学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC：

Student

Course

SC

1选择（Selection）

（1）选择又称为限制（Restriction）

（2）选择运算符的含义

在关系R中选择满足给定条件的诸元组

σ_F（R）＝{t|t∈R∧F（t）＝‘真’}

F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：X₁θY₁

（3）选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算。

【例1】查询信息系（IS系）全体学生

σ_Sdept＝_‘IS’（Student）或σ₅＝_‘IS’（Student）

结果：

【例2】查询年龄小于20岁的学生

σ_Sage＜20（Student）或σ₄＜20（Student）

结果：

2投影（Projection）

（1）投影运算符的含义

从R中选择出若干属性列组成新的关系

π_A（R）＝{t[A]|t∈R}

A：R中的属性列

（2）投影操作主要是从列的角度进行运算

但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）。

【例3】查询学生的姓名和所在系

即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影

π_{Sname，Sdept}（Student）或π_2，5（Student）

结果：

【例4】查询学生关系Student中都有哪些系

π_Sdept（Student）

结果：

3连接（Join）

（1）连接也称为θ连接

（2）连接运算的含义

从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组

θ：比较运算符

·连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

（3）两类常用连接运算

①等值连接（equijoin）

θ为“＝”的连接运算称为等值连接。

等值连接的含义：

从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：

②自然连接（Natural join）

自然连接是一种特殊的等值连接，两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，在结果中把重复的属性列去掉。

自然连接的含义：R和S具有相同的属性组B

（4）一般的连接操作是从行的角度进行运算

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

【例5】关系R和关系S如下所示：

一般连接的结果如下：

等值连接的结果如下：

自然连接R⋈S的结果如下：

·外连接

如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值（Null），这种连接就叫做外连接（OUTER JOIN）。

·左外连接

如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接（LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN）

·右外连接

如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接（RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN）。

下表是【例5】中关系R和关系S的外连接

下表是【例5】中关系R和关系S的左外连接和右外连接

4除（Division）

给定关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z为属性组。

R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R与S的除运算得到一个新的关系P（X），P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：

元组在X上分量值x的象集Y_x包含S在Y上投影的集合，记作：

R÷S＝{t_r[X]|t_r∈R∧π_Y（S）⊆Y_x}

Y_x：x在R中的象集，x＝t_r[X]

除操作是同时从行和列角度进行运算：

【例6】设关系R、S分别为下图的（a）和（b），R÷S的结果为图（c）

图（a）

图（b）

图（c）

分析

·在关系R中，A可以取四个值{a₁，a₂，a₃，a₄}

a₁的象集为{（b₁，c₂），（b₂，c₃），（b₂，c₁）}

a₂的象集为{（b₃，c₇），（b₂，c₃）}

a₃的象集为{（b₄，c₆）}

a₄的象集为{（b₆，c₆）}

·S在（B，C）上的投影为{（b₁，c₂），（b₂，c₁），（b₂，c₃）}

·只有a₁的象集包含了S在（B，C）属性组上的投影，所以R÷S＝{a₁}。