第二章　饱和吸收光谱与激光稳频技术

2.1　饱和吸收光谱

饱和吸收光谱技术是一种常用的精密激光光谱技术，其原理是利用单色可调谐激光，将速度为零的原子从其多普勒速度分布的背景原子气体中选出，并使其对探测激光的吸收产生饱和，形成饱和吸收光谱。

2.1.1　激光与原子相互作用

如图2.1所示为铷原子超精细能级结构图。铷原子的第二激发态（精细能级）52P3/2，含有四个超精细能级：F′=0，1，2，3，它们之间的能级裂距在72～270MHz之间。如果用激光照射铷原子，应该可以观察到对应的谱线跃迁。

当我们把激光频率对准其中一条超精细跃迁频率，例如F=2→F′=3时，激光能够激发这两个超精细能级间的共振跃迁，却几乎激发不了其他能级跃迁（F=2→F′=1，2），主要是频率失谐太大。因此，光与原子相互作用过程中，对于共振或近共振超精细跃迁，可以把原子简化成二能级模型，如图2.2（a）所示。

根据电磁场与原子相互作用的基本原理可知，对于静止的原子，在一定的条件下，可以吸收原子而跃迁至激发态E2，然后自发辐射返回基态E1（这也是爱因斯坦于1905年提出的基本思想）。若ω0为原子从基态到激发态的跃迁频率，如图2.2（a）所示，那么，电磁场与原子相互作用的基本原理告诉我们，当入射光的频率ω=ω0时，原子吸收光的概率最大，这时称为共振吸收，它对应的自发辐射发出的光谱也称共振荧光光谱。但是由于上能级E2有一定的寿命，吸收光谱与荧光光谱都有一定的频谱宽度，它由洛伦兹宽度Γ（以铷D2线为例，Γ≈2π×6MHz）决定，这种宽度又称原子跃迁谱线的自然线宽，如图2.2（b）所示，属于洛仑兹线型。

谱线的线宽Γ可以理解为，当原子感受到的激光频率进入ω0±Γ/2范围内时，原子可以吸收或辐射光子，产生光谱。实际中的原子，大多处于运动状态，被探测到的原子跃迁频率存在多普勒效应。对于最常用的气室内的原子，原子的速度分布可以用麦克斯韦-玻尔兹曼分布描述，如原子在上能级E2和下能级E1的原子数分别为：N1和N2，在υ→υ+dυ的速度区间内，上下能级的原子数分别如式（2.1）所示：

这里i=1，2，分别表示能级为E1，E2上原子的数目，kB为玻尔兹曼常数，m是原子的质量，当中心频率为ω0的原子以速度υ运动时，跃迁频率ωd为：

这实际上就是在静止参考系中观察到运动原子发射的光谱频率，由于原子速度υ的分布很宽，导致激光频率在很大范围内都可以被原子吸收，产生的吸收/发射谱就是多普勒吸收/荧光谱。由式（2.1）可知，在ν→ν+dν的频率区间内，上下能级上原子数分布为：

这里的频率ν则为式（2.2）中的原子发射频率，即：ωd=2πν，ω0=2πν0，由式（2.3）的原子数分布可知，运动原子发射的光谱则为高斯分布：

也即其谱线将变为高斯线型，其对应的频率宽度为：

由公式（2.5）可知，ΔωD≈2π*500MHz≫Γ/2≈2π*3MHz（以常温下铷原子为例）。

因此，在一般情况下，我们只能探测到带有多普勒展宽的吸收光谱。为了消除多普勒展宽对探测原子自然线宽Γ的影响，美国斯坦福大学的Theodor W.Haensch与Carl E.Wieman提出了一种简单的消除多普勒本底的方法——饱和吸收法（Saturated Absorption）。

为了解释如何通过饱和吸收光谱技术消除多普勒本底，进而探测到具有自然线宽的静止原子的谱线以及在探测过程中交叉饱和吸收光谱的成因，我们假设原子有三能级结构，基态由能级E1表示，激发态分别由能级E2和E3表示，如图2.3所示。在进行饱和吸收光谱实验时，我们在原子气室中对射两束相同频率的激光：泵浦光I1与探测光I2（即：ω1=ω2=ω）。假如泵浦光I1沿-z方向入射，探测光I2沿z方向入射。

当泵浦光I1与气室中原子相互作用时，只要满足ω≈ω12或ω13，则静止原子会从基态E1跃迁到激发态E2或激发态E3，如图2.3（a）所示。如考虑原子具有速度，气室中以速度为υ沿z方向飞行的原子“感受”到的激光频率为，而以相同速度υ沿-z方向飞行的原子“感受”到的激光频率为。可见，虽然都是和同一频率激光作用，不同运动方向的原子，会“感受”不同的频率，这就是多普勒效应作用的结果。

这里，对于任一个原子来说，它会同时与两个方向相反的激光（泵浦光与探测光）作用，当原子以速度υ、向z方向移动时，若要它吸收泵浦光而跃迁至激发态E2的话，则需满足：

假设泵浦光的波矢为k，则ω12=ω+kυ，满足共振条件，而原子“感受”到探测激光的频率为ωprobe=ω-kυ，基本不满足共振条件。因此一般情况下，对于任一激光频率ω，原子不能同时和泵浦光以及探测光发生共振跃迁，不过有两种情况例外：

第一种情况是当原子速度υ=0时，ω+kυ=ω-kυ，换句话说，对于z方向零速度的原子，其感受到的泵浦光和探测光频率是一样的，只要激光频率合适，这些原子能够同时吸收泵浦光和探测光。

第二种情况是当原子速度满足kυ=±1/2（ω13-ω12）=±1/2ω2，3时，只要激光频率ω合适，有可能同时满足ω+kυ=ω13，ω-kυ=ω12或ω+kυ=ω12，ω-kυ=ω13。换句话说，对于z方向速度群的原子，其感受到的泵浦光和探测光频率虽然不一样，但只要激光频率满足ω=1/2（ω12+ω13），这些原子能够同时吸收泵浦光和探测光，发生不同能级间的共振跃迁，这是交叉饱和吸收光谱的形成机理。

2.1.2　饱和吸收光谱的基本原理

下面从能级布局数的角度，阐明饱和吸收光谱的基本原理。如图2.3（b）所示，通过光电探测器（Photo Detector,PD）接收探测激光通过原子气室之后的剩余光强，然后扫描激光频率，就能得到饱和吸收光谱。一般来说，探测光强度很弱，饱和吸收光谱的强度正比于基态E1原子的布局数N1，考虑到速度分布，基态原子布居数写成N1（υ）。

如图2.4（a）所示，原子从基态E1跃迁到激发态E2的共振跃迁，基态E1的布居数N1（υ）与激发态E2的布居数N2（υ）随速度的分布。当激光频率ω=ω12时，原子的基态布居数在υ=0有一个凹陷（称为Bennet孔），说明激光束方向零速度群的原子吸收了泵浦光之后，从基态E1跃迁到激发态E2，引起激发态E2的布居数N2（υ）在υ=0有一个凸起（称为Bennet峰）。基态原子布居数的凹陷与激发态布居数的凸起有一定宽度，这是由于激发态E2有一定的能级宽度。假设激发态能级宽度为Δω（由自然增宽或压力增宽引起），那么相应的Δυ为：

ω-k（υ±Δυ）=ω12±Δω

（2.7）

基态E1布居数N1（υ）凹陷的面积S1（υ）代表原子吸收泵浦光后，从基态E1跃迁到激发态E2的原子数目，这个原子数目等于激发态E2布居数N2（υ）凸起所对应的原子数：ΔN2=ΔN1，凹陷的形状是一个倒置的洛仑兹线型，Bennet孔的探测可以由两束激光得到，实验中可以将光强较强的泵浦光（称为饱和光）与一束较弱的探测光（可以忽略由此引起的饱和效应）同时入射气室，通过检测探测光的吸收情况，就可以获得在基态的布居数分布，从而观测到Bennet孔。当激光频率扫描到特定值，例如ω=ω12时，就能探测到Bennet孔，此时，泵浦光将下能级粒子数抽至上能级（饱和），探测光经过时，原子吸收探测光能力减弱，这样，探测光的透射强度就增加，形成正向凸起的峰，如图2.5所示，这个小峰称为饱和吸收峰，在以多普勒背景为本底上有饱和吸收峰的光谱称为饱和吸收光谱。

（a）原子从基态E1跃迁到激发态E2，在基态E1与激发态E2的粒子数布居

（b）原子从基态E1跃迁到激发态E3，在基态E1与激发态E3的粒子数布居

由于饱和吸收峰为洛仑兹线型，呈偶对称，因此，饱和吸收峰的中心频率位置对应于原子跃迁线的中心位置。这也是为什么可以利用饱和吸收光谱准确地测定原子的能级间距，并用其将激光频率准确地锁定于原子能级跃迁的中心频率上的原因。

当激光强度增强时，它能引起原子基态粒子数密度的饱和并引起附加的谱线增宽，即饱和增宽，它有两类，均匀饱和增宽和非均匀饱和增宽。如图2.6所示，均匀饱和增宽的示意图，中心处的饱和度最强，随着偏移中心距离越大，饱和度越小。当光强逐步增大时，原子发射的线宽增宽，此现象称为饱和增宽。

经过理论计算，可以得到饱和吸收峰的半高宽即饱和均匀增宽：

Γ0是自然线宽，S是激光光强的饱和因子，S=I/Is,Is为饱和光强，具体数值可以查阅本书附录。

可以总结出，饱和吸收峰的产生，就是当激光频率扫描至某一特定频率时，有一特定速度群的原子能够同时与泵浦光和探测光发生共振跃迁，由于泵浦光比较强，几乎消耗了所有该速度群的基态原子，造成原子不再吸收探测光而呈现出透明状态（也即饱和，在光谱上看到是探测光强增大），使得较弱的探测光得以通过气室形成透射峰，而当激光频率偏离这一特定频率时，泵浦光和探测光分别被不同速度群的原子吸收，形成多普勒吸收本底，从而得到饱和吸收光谱，这类机制下得到的谱峰称为本征饱和吸收峰。实验观测到的铷原子饱和吸收光谱如图2.7所示。

以上分析针对的是二能级结构原子，如果原子是三能级结构，如图2.3（a）所示，除了上面提到在频率ω=ω12或ω=ω13处，υ=0速度群的原子会形成两个饱和吸收峰，在频率ω=1/2（ω12+ω13）处也会形成（如2.1.1节所介绍的）一个强度几乎是两倍的饱和吸收峰，称之为交叉饱和吸收峰，这种类型的光谱称之为交叉饱和吸收光谱。

以下详细说明交叉饱和吸收光谱产生的原因。

如图2.8中的三能级结构原子，如果泵浦光频率ω=1/2（ω12+ω13）沿-z方向入射时，气室中的某个速度群的原子以速度υ沿z方向飞行，如果满足条件ω13=ω+kυ，则原子吸收泵浦光从基态E1跃迁到激发态E3上，如图2.8（a）所示，同时原子与向z方向入射的探测光也必然满足共振条件ω12=ω-kυ，则原子本应该从基态E1跃迁到激发态E2，但是由于基态原子已经被泵浦光抽空，原子对探测光呈透明状态，因此探测光在频率ω处会出现一个正的透射峰（即饱和吸收峰）。

同理，当泵浦光以频率ω=1/2（ω12+ω13）以-z方向入射时，气室中的某个速度群的原子以速度υ沿-z方向飞行，如果满足共振条件ω12=ω-kυ，原子吸收泵浦光从基态E1跃迁到激发态E2上，如图2.8（b）所示，同时该速度群的原子与向z方向入射的探测光也必然满足共振条件ω13=ω+kυ，但是由于基态原子已经被泵浦光抽空，原子对探测光呈透明状态，因此探测光在频率ω处会出现一个正的透射峰。

由于以上±υ速度群原子在同一频率ω=1/2（ω12+ω13）处产生饱和吸收峰（称为交叉饱和吸收峰），泵浦激发的原子数分别为±υ速度群的基态原子数，形成在±υ处的基态原子布居数烧孔，如图2.9所示，由于每个烧孔面积与原子速度为零时的面积相当，因此，交叉饱和吸收峰的强度基本上是本征饱和吸收峰强度的两倍。

如图2.10所示，三能级饱和吸收光谱的一般结构，两边是本征饱和吸收峰，中间是交叉饱和吸收峰。

若基态一个能级，激发态有三个能级，那么一般会得到六个饱和吸收峰，如图2.7所示，对应三条实跃迁线加三条交叉线。

如图2.11所示，实验观察到的部分铷原子D2线饱和吸收光谱，谱线中大的轮廓为多普勒吸收峰，在多普勒吸收峰的背景上会出现的一些向上尖锐的小峰，正是铷原子的饱和吸收峰。

2.2　饱和吸收光谱的实验介绍

如图2.12所示，饱和吸收实验的典型光路，两个偏振分光棱镜（Polarization Beam Splitter,PBS）加一个法拉第旋光器构成光隔离器（Isolator,ISO），一个半波片（λ/2）和一个偏振分光棱镜（PBS3）组成光强调节系统。半导体激光器输出单模连续可调谐激光，经过高透低反的厚玻璃，分成三束光，一束透射光加两束反射光，其中，选择透射光作为泵浦光，选择其中任一束反射光作为探测光，调节反射镜使得泵浦光和探测光在铷吸收池里重合，然后用光电探测器来接收穿过原子样品之后的探测光，并把其输出接到示波器上进行观测。扫描激光频率，就有可能在示波器上观测到饱和吸收谱。

2.3　激光稳频的基本原理

激光稳频是一项很重要的激光技术，它有着广泛的应用。从本质上讲，激光器是一种光频波段的振荡源，这种振荡源和无线电波段的振荡源在原理上有着根本的不同，前者是原子或者分子的受激辐射，后者是电子器件内部的电子迁移。作为一种理想的电磁波振荡源，我们希望它的单色性要好，输出频率要稳定，重复性要好，准确度要高。由于一般激光器都不是理想振荡源，激光的频率随时间都会有变化，其中快变部分就是激光线宽引起的频率涨落，慢变部分常常是源于周围环境对激光腔体、泵浦源等参量的影响。为了获得接近理想的单色性好、频率稳定的激光，需要对激光频率的短期稳定度、长期稳定度进行稳定控制。

最直接的方法是找到一个稳定的参考频率源，想办法把激光频率锁定到参考频率源上即可，这个过程就叫激光稳频。这种参考频率源需要满足两个基本条件：中心频率稳定性好，即长期稳定度好；单色性好（线宽窄），也即短期稳定度好。

常见的参考频率源有两类，一类是高Q值F-P腔（Fabry-Perot Cavity），它的透射峰很窄，有较高的短期稳定度，但是中心频率漂移严重，因此长期稳定度较差；另一类是原子、分子的高稳定跃迁谱线，这种参考源的谱线线宽可以很窄（如光钟的参考源），谱线中心频率受温度、磁场等外界因素的影响较小，所以既有很好的短期稳定度，又有优质的长期稳定度。激光稳频是一个动态的平衡过程，控制系统不断地把激光频率和参考频率做比较，产生误差信号，对此误差信号进行适当的处理即得到纠偏信号，将纠偏信号反馈给激光器的驱动电流或者外腔，从而实现激光频率的闭环控制，并达到要求的频率稳定度。

现在使用最多的参考频率源是原子、分子的高稳定跃迁谱线。由于稳频激光器的频率以参考频率为基准，所以参考频率的稳定度和准确度决定了激光频率的稳定度和准确度。在实际应用中对激光频率的稳定度要求有两类：一类是光通信和激光光谱实验等，对激光频率稳定度要求不高，只需要精确度达到1GHz即可；另一类是在精密测量相关领域，要求频率精确度达到1kHz以内。不同的要求，对参考源的选择也就不同，精确度要求越高，对参考源的选择就越苛刻。

某些原子或分子谱线线宽窄、对外界环境不敏感、跃迁强度大，这种谱线经选择后精密测量其频率绝对值，然后在规定使用条件（如原子或分子气室的气压、温度、泵浦光的光强、形状等条件）下，把激光频率锁定在这个谱线中心频率上，这种具有确定频率值，稳定度可达10-12的稳频激光，我们称之为激光频率标准，即光频标。

饱和吸收光谱就是一种使用非常广泛的激光稳频参考源。饱和吸收光谱的各个超精细谱线都有相似的线型，采用线型函数表示参考谱线，它可以表示为：

G（ω）=f（ω）+g（ω）

f（ω）=-（aω2+bω+c），

其中：

f（ω）表示谱线成分的多普勒背景，是二项式，显示为佛克脱轮廓，g（ω）表示谱线的超精细能级的跃迁成分，是洛伦兹轮廓。一般情况下，对于原子a/K=10～100；对于分子a/K=1000～10000。可见分子的超精细跃迁的强度比原子的要弱得多，分子多普勒吸收背景要比饱和吸收峰大2～3个数量级，一般很难直接观测到饱和吸收峰。

式（2.9）中的g（ω）呈轴对称，其中心点频率ω0就是我们进行激光稳频的参考频率，此频率点对应跃迁谱线的极值点。如果我们能够通过某种方法探测出当前激光频率在谱线上的相对位置，即得知激光频率相对谱线中心点的偏离信息（无偏离、偏左或偏右），就可以给激光器输入相应的反馈信号，纠正激光器的频率。很直接的设想：①激光频率在参考频率点上，控制信号为零；②激光频率在参考频率点的左边，控制信号为正纠偏；③激光频率在参考频率点的右边，控制信号为负纠偏。纠偏信号可以反馈给激光器的一切可连续调谐参量，比如外腔长度、工作电流、工作温度等，其中，外腔和电流是常用的反馈调节参量，而温度由于响应慢，一般不作为反馈调节参量。

那么如何得到当前激光频率相对参考频率的偏离信息呢？简单来说就是调制解调的方式。

给激光频率加个小调制Asin（Ωt），称之为调制信号，设调制频率为Ω，则调制后频率为：

ω′=ω0+Asin（Ωt）

（2.10）

这里的小调制，指的是调制深度｜A｜≤γ，γ是谱线线宽。将G（ω）在ω0处作泰勒展开：

再将一个sin（Ωt）（称之为参考信号，注意与参考频率区分开）与G（ω′）两信号相乘，提取出其直流项：

其中T=2π/Ω为调制信号的周期。可以看出此直流项正比于饱和吸收光谱信号G（ω）的一次谐波（一次微分）与调制深度A的乘积，这就是饱和吸收光谱的一次谐波（一次微分）信号，俗称误差信号，其中积分的数学过程，在电路中通过低通滤波器实现，因为式（2.12）是个类似鉴频的过程，故误差信号也称之为鉴频信号。

如图2.13所示，信号发生器（Signal Generator,SG）产生幅度为A，调制频率为Ω的信号，其中一路作为调制信号，输入外腔半导体激光器（External Semiconductor Laser,ECL），使激光频率ω发生调制，利用频率带调制的激光进行饱和吸收光谱（Saturated Absorption Spectroscopy,SAS）实验，得到强度调制的饱和吸收光谱，并被光电探测器（Photoelectric Detector,PD）转换成电压信号，经带通滤波放大器A1处理后，输入到相敏检波器（M，实际功能是乘法器）；信号发生器的另一路信号，即参考信号，经一个相位延迟调节器（ψ）后，进入一个比较器（C），将正弦信号变频率为Ω的方波信号，也输入到相敏检波器，与处理后的饱和吸收光谱信号相乘，然后进入一个低通滤波电路（I）滤除高频成分，得到低频的误差信号V4。

假设半导体激光器的输出频率为ω，加入调制后，引起的激光频率变化量大小为Asin（Ωt），Ω为调制频率，A为调制深度，这样就得到加调制后的激光频率ω′=ω+Asin（Ωt），实验中，A＜Γ，A为MHz量级，ω为1014Hz量级，调制频率Ω一般取50kHz以下。相对于谱线的中心频率ω0，激光频率有三种情况：ω=ω0，ω＞ω0，ω＜ω0。以下分三种情况讨论：

（1）当ω=ω0时，探测激光频率在饱和吸收光谱的峰值位置，激光频率加入调制信号后，激光频率变量的大小为Asin（Ωt），探测激光的光强I随时间的变化则会出现如图2.14（a）所示的反向倍频信号，该激光光强经光电探测器与放大器A1后会变成电压信号V1，如图2.14（b）所示，V1信号进入相敏检波器（M）后与参考信号V2相乘，形成V3信号，该信号经过低通滤波器（图2.13中I部分）后，得到直流信号V4=0。因此，探测激光频率在饱和吸收光谱的峰值位置时，误差信号为零，则激光频率不需反馈调节。

（2）当ω＜ω0时，探测激光频率在饱和吸收光谱的峰值位置的左侧，激光频率加入调制信号后，探测激光的光强I随时间的变化则会出现如图2.15（a）所示的正向正弦信号。该激光光强经光电探测器（PD）与放大器A1后会变成电压信号V1，如图2.15（b）所示，V1信号进入相敏检波器（M）后与参考信号V2相乘，形成V3信号，该信号经过低通滤波器（I）后，形成直流信号V4＞0。这表示激光的频率在饱和吸收光谱的峰值位置的左侧，需要加正向误差信号（正直流电压），将激光频率调至峰值处。

（3）当ω＞ω0时，探测激光频率在饱和吸收光谱的峰值位置的右侧，激光频率加入调制信号后，探测激光的光强I随时间的变化则会出现如图2.16（a）所示的反向正弦信号。该激光光强经光电管（PD）与放大器A1后会变成电压信号V1，如图2.16（b）所示，V1信号进入相敏检波器（M）后与参考信号V2相乘后，形成V3信号，该信号经过低通滤波器（I）后，形成直流信号V4＜0。这表示激光的频率在饱和吸收光谱的峰值位置的右侧，需要加反向误差信号（负直流电压），将激光频率调至峰值处。

我们可以把半导体激光器稳频的基本原理总结为：通过加入调制信号改变半导体激光器的外腔参数（腔长、光栅转角等）、工作电流或其工作温度，使其输出激光的频率受到相应的调制，从而在对应的光谱输出上有相应的强度变化，然后我们对光谱强度变化进行解调处理，得到激光频率偏离参考频率的信息，由稳频系统输出相应的控制信号，即纠偏电压，把激光器的输出频率纠回参考频率点。通过这样的方式可以把激光频率锁定在参考频率处。

当信号V1和V2的相位差Δφ=0时，称为相位匹配，此时误差信号幅度最大，但是实际情况中，由于光路和电路都会产生信号的相位延迟，因此需要一个相位延迟调节电路，保证鉴相时的相位差为0，这在实际操作中很重要，否则误差信号就会变小，甚至变为零。这是实验中我们需要排除的情况。

数学上可以推出，当Δφ=π/2（正交相位）时，误差信号为0，如图2.17～2.19所示，分三种情况图解如下：

（1）当ω=ω0时，V3信号出现断裂状的样子；V4信号通过滤波得到带有毛刺的直流信号，。

（2）当ω＜ω0时，V3信号呈现断裂状的正向正弦波信号；V4通过滤波得到直流信号，，这样不能正常输出正的误差信号。

（3）当ω＞ω0时，V3的信号呈现断裂状的反向正弦波信号；V4通过滤波得到直流信号，。这样依然不能正常输出负的误差信号。

因此当相位延迟Δφ=π/2时，激光稳频的反馈信号都为零，这样电路就处于不正常的工作状态，实验中需要避免这种情况的发生。因此，要得到最好的误差信号，一定要将相位延迟保持在Δφ=0的状态。

以上介绍的半导体激光稳频技术，我们称为一次谐波稳频，式（2.12）显示它不能消除多普勒背景，即上面提到的谱峰极值点，即参考频率点，并非洛仑兹线型g（ω）的中心点，而是洛仑兹线型叠加多普勒背景之后的整体线型G（ω）的极值点，这种稳频方法常在饱和吸收光谱峰值与多普勒背景相比，两者强度相当时采用（如铷原子、铯原子饱和吸收光谱稳频）。当饱和吸收光谱峰值比多普勒背景要小得多时，再用一次谐波稳频，多普勒本底的影响就会很严重，为此要获得高质量的稳频，需要将多普勒背景去掉，这种情况下，在实验中常采用三次谐波稳频（如碘分子饱和吸收光谱稳频）。

同式（2.12）类似，可以获得二次、三次等高次谐波信号，分别如式（2.13）、式（2.14）所示，区别在于鉴相前参考信号的频率。

若将sin（2Ωt）与G（ω′）两信号相乘然后经过低通滤波，得到的直流项将正比于饱和吸收光谱信号G（ω）的二次微分与调制幅度平方A2的乘积，称为饱和吸收光谱的二次微分信号：

若将sin（3Ωt）与G（ω′）两信号相乘然后经过低通滤波，提取出的直流项将正比于饱和吸收光谱信号G（ω）的三次微分与调制幅度立方A3的乘积，称为饱和吸收光谱的三次微分信号：

由式（2.11）可得G（ω）的一次、二次、三次微分信号分别为：

洛仑兹线型函数及其一，二和三次微分曲线如图2.20所示：

由于佛克脱轮廓背景为二次型函数线，由式（2.15）可知一次微分信号不能够完全消除多普勒本底，而式（2.16）结果表明二次微分信号的本底为一常数，并且二次微分信号形状是一个偶函数，信号在谱线中心处不为零，因此不适用于稳频。式（2.17）的结果告诉我们三次微分信号则完全消除了本底，如图2.20（d）所示，其谱线的零点正好与参考频率中心ω0一致。这种曲线可用于鉴频，与一次微分曲线相比，零点处斜率更大，鉴频灵敏度更大，但是信号强度会减小。

可以看出洛仑兹线型函数的一阶、三阶导函数在中心点的值为零，在中心点附近范围内，中心点左右两边的取值一正一负或一负一正，根据前面一节对稳频原理思想的论述，可以用于激光稳频，相应的称之为一次、三次谐波（微分）稳频。同时注意到由于多普勒轮廓背景光谱成分的存在，会对一次谐波稳频产生影响，而对三次谐波稳频无影响。

从洛仑兹线型的一次、三次微分曲线来看，每个微分曲线的鉴频范围是最靠近中心点的两个极大值（一正一负）对应频率的间隔，可以看出一次微分稳频的鉴频范围明显大于高次微分稳频的鉴频范围。若假定光谱线型为洛仑兹线型，经严格计算可得到各类稳频方法的鉴频范围（小调制情况）：

（1）一次微分稳频：[ω0-0.57735×Γ/2，ω0+0.57735×Γ/2]

（2）三次微分稳频：[ω0-0.32492×Γ/2，ω0+0.32492×Γ/2]

这里ω0为稳频的中心参考频率，Γ为洛仑兹线型的半宽。

实验中所选取的参考谱线为铷原子的超精细结构饱和吸收光谱。铷原子超精细能级跃迁的强度相对较强，可以用于一次微分稳频；同时，由于一次微分信号的鉴频范围最大，有助于提升稳频系统的长期锁定能力；另外，在相同的调制深度下一次微分信号的信噪比更高，且稳频伺服电路相对简单，易集成。

2.4　半导体激光稳频的基本电路

如图2.21所示，半导体激光器的稳频系统，它由可调谐半导体激光器（包括外腔半导体激光器、精密电流控制、精密温度控制和外腔驱动器）、稳频电路系统（伺服环路）、光学系统组成。

可调谐半导体激光器用于获得可以调谐的激光输出，精密电流控制主要是向激光器供流，电流的精度要求很高，半导体激光器的电调率在GHz/mA的量级，所以供电电流的起伏应控制在微安量级以下；精密温度控制是用来控制半导体激光器中工作物质（半导体）的温度，其精度要求也非常高，因为激光器的温调率很大，它在10GHz/K的量级；外腔驱动器（PieZoelectric Ceramic Transducer,PZT）用于控制半导体激光器的外腔长，由此可以进行激光频率调谐。

稳频电路系统由信号发生器、带通滤波整形、信号移相、带通滤波放大、鉴相器、低通滤波放大模块组成。信号发生器提供稳频所需要的调制信号和参考信号（基频或三次谐波），带通滤波整形是把信号发生器输出的方波信号整形为谐波抑制比很高的正弦信号，调制信号的谐波抑制比应该在70～80dB以上，鉴相的参考信号的谐波抑制比应该在50～60dB以上；信号移相是对信号的相位进行移动，同时不能改变信号的幅度大小，由于半导体激光器稳频系统（特别是光电信号的转换以及激光器本身的工作状态）对信号相位产生未知的移动，影响鉴相出来的误差信号的幅度，降低伺服环路的控制性能，所以设计出这一部分的电路是必需的；带通滤波放大是对得到的光电信号进行选频放大，滤掉其余的频率成分，对于一次谐波稳频和三次谐波稳频方法，带通滤波放大分别选出相应鉴频信号的基频和三次谐波成分；鉴相器实际上是一个乘法器；低通滤波放大是一个积分放大器，滤除鉴相输出的高频成分，留下低频成分即误差信号，然后经过一段比例积分（Proportional and Integral,PI）电路，输出到PZT高压驱动器，实现激光稳频系统的闭环。

2.5　微分信号与频率稳定性测量

为了得到并测量微分信号（误差信号），必须给激光器的输出频率加上调制，实验中通过调制激光器的工作电流实现。另外，低通滤波器的带宽也会影响误差信号的大小，同时决定了稳频环路的带宽，实验中，这个带宽约为15Hz。要想观测饱和吸收谱及其微分信号，必须得提供激光频率的扫描信号，实验中，扫描信号是加在PZT高压驱动器上，并通过一段同轴电缆线连接到示波器上，用作谱线观测的触发源。打开扫描信号开关，调节扫描电压幅度，如果此时激光的输出频率刚好在铷原子的共振能级附近，就能观测到对应的跃迁谱线信号及其微分信号，如图2.22所示。

测量半导体激光器输出频率的短期稳定度与长期稳定度，标准的做法是将两台相同型号的激光器分别锁定于原子相邻的超精细谱线上，然后两个激光器各自分出一束光进行合束，输入到快速光电管（Avalanche Photo Diode,APD），得到两激光的拍频信号（差频信号），如图2.23所示。然后将拍频信号输入到频率计数器，读取拍频频率后送入计算机，通过相应的软件算出频率稳定度，一般为阿伦方差，如图2.24所示。事实上，我们得到的是拍频信号的阿伦方差，考虑到两台激光器型号相同，即性能相近，可以证明，每台激光器输出频率的阿伦方差是拍频信号的1/倍。

通常用短期与中长期稳定度来描述稳频激光器的频率稳定性。频率稳定度定义为所测频率y（t）的N次取样方差：

其中，为y（t）的第k次测量值，τ为单次测量时间，T为测量间隔。美国人阿伦于1966年证明最好利用N=2，T=τ的两次取样的平均值表示：

其中m是测量的总次数，这就是阿伦方差。可以看出，阿伦方差是采样时间τ的函数，τ=1s时，对应的阿伦方差称之为激光器输出频率的秒稳；τ=100s时，对应的阿伦方差称之为激光器输出频率的百秒稳；依此类推有万秒稳、天稳、月稳等常见指标。

如图2.23所示，实线和箭头用来表示稳频激光器拍频光学系统的光路，而虚线用来表示电路系统的连接。半导体激光稳频实验系统由三个子系统组成：拍频测量系统（Frequency Beat System,FBS）、饱和吸收系统（Saturated Absorption System,SAS）和电路伺服系统（Electric Servo System,ESS），如图2.23所示，在FBS子系统中，λ/2为半波片，APD为雪崩光电二极管，L为将激光聚焦到雪崩光电二极管中的聚焦透镜，Counter为测量激光拍频频率的计数器，PC为自动记录实验数据的计算机；在SAS子系统中，ECDL为外腔半导体激光器，ISO为光隔离器，GBS为分光镜，Rb为铷吸收池，PD为光电探测器；在ESS子系统中，SG为调制信号源，PS为相位移动模块，PI为比例积分控制，PSD为相位检测模块。

如图2.24所示，外腔半导体激光器锁定于铷原子D2线后测到的频率稳定度结果。秒级频率稳定度达到6.0×10-11，当采样平均时间τ=128s时，频率稳定度达到4×10-12。