7.2 偏导数
7.2.1 偏导数的概念及其计算
1.定义
对于一元函数，我们由研究函数的变化率引入了导数的概念，而多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的自变量不止一个，研究起来要复杂得多.为了方便，可以考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.
下面以二元函数z=f（x，y）为例，讨论偏导数的概念.首先给出偏增量的定义：
如果y保持不变（可看作常数），只有x发生变化时，z可视为关于x的一元函数，当x取得增量Δx时，函数z的增量为
f（x+Δx，y）-f（x，y），
称之为函数z=f（x，y）在（x，y）处关于x的偏增量，记为Δxf（x，y）（或Δxz），即
Δxz=f（x+Δx，y）-f（x，y）.
同理，函数z=f（x，y）在（x，y）处关于y的偏增量为
Δyz=f（x，y+Δy）-f（x，y）.
而二元函数f（x，y）关于x的变化率，就是y保持不变时，f（x，y）关于x的偏导数，即有如下定义：
定义7.4 设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y=y0，而x在x0处取到增量Δx时，相应地，函数有偏增量：
Δxz=f（x0+Δx，y0）-f（x0，y0）.
如果 
存在，则称此极限为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作
即 
.
类似地，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对y的偏导数的定义为
记作 
，zy（x0，y0）或fy（x0，y0）.
如果函数z=f（x，y）在区域D内任一点（x，y）处对x的偏导数fx（x，y）都存在，那么这个偏导数仍是x、y的函数，称它为函数z=f（x，y）对自变量x的偏导（函）数，记作
即 
.
类似地，函数z=f（x，y）对自变量y的偏导数为
记作 
，zy或fy（x，y）.
与一元函数类似，函数z=f（x，y）在（x0，y0）处对x的偏导数fx（x0，y0），就是偏导函数fx（x，y）在（x0，y0）处的函数值，而fy（x0，y0）就是偏导函数fy（x，y）在（x0，y0）处的函数值，即
.
将二元函数f（x，y）关于x的偏导数定义式与一元函数f（x）的导数定义式比较可得，偏导数fx（x0，y0）就是一元函数f（x，y0）关于x的导数，即
类似地， 
偏导数的定义可以推广到二元以上函数，如三元函数u=f（x，y，z）在（x，y，z）处的偏导数为
① 偏导数记号zx，fx也记成 
，下面高阶偏导数的记号也有类似的情形.
2.计算
从偏导数的定义可以看出，二元函数f（x，y）的偏导数
就是把f（x，y）中的变量y看作常数时，对自变量x的导数.所以，求多元函数的偏导数相当于求一元函数的导数，在求偏导数时，并不需要用新的方法.一元函数的求导法则（如四则运算求导法则、复合函数求导法则）和求导公式对多元函数的偏导数仍然适用.
【例1】 求函数f（x，y）=x2+3xy+y2+sinx对x和y的偏导数.
解 把y看作常数，函数f（x，y）对x求导数，得
fx（x，y）=2x+3y+cosx，
再把x看作常数，函数f（x，y）对y求导数，得
fx（x，y）=3x+2y.
【例2】 求函数z=x2y+sin（xy）在（1，0）处的两个偏导数.
因此， 
.
需要注意，“求某点的偏导数时，先求偏导函数再代值”的方法不一定简便，如下例.
【例3】 设f（x，y）=xexy+（x+y）ln（1+x2y），求
.
解 由于f（x，y）的表达式很复杂，先求偏导函数再代值计算量大，因此利用“求多元函数的偏导数相当于求一元函数的导数（把其他自变量看成常数）”这一性质，有
而 f（x，0）=x，
因此， 
.
【例4】 已知理想气体的状态方程
pV=RT（R为常数），
证明： 
.
证明 由函数
得
.
同理，由函数
得
；由函数
得
.
所以 
.
这表明偏导数
是一个整体，不能理解为分子与分母之商，这是与一元函数的导数记号的不同之处.
如果在函数表达式f（x，y）中将两个自变量x，y对调后，仍为原来的函数，称该函数f（x，y）对变量x，y具有轮换对称性.若函数对变量x，y具有轮换对称性，且已知
的表达式，则只要将
中的x，y对调就能得到
.
例如，函数z=x4+y4-2x2y2对变量x，y具有轮换对称性.
【例5】 设z=[ln（xy）+1]3，求
.
解 注意到函数z=[ln（xy）+1]3对x，y具有轮换对称性，
所以利用轮换对称性得 
.
3.偏导数的几何意义
设M0（x0，y0，f（x0，y0））是曲面z=f（x，y）上一点，过点M0作平面y=y0，此平面与曲面相交得到一条曲线
，如图7-7所示.该曲线在平面y=y0上的方程为z=f（x，y0），由导数的几何意义得，导数
表示该曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率，因此，偏导数fx（x0，y0）的几何意义是：曲面z=f（x，y）与平面y=y0相交所得的曲线z=f（x，y0）在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.同样，偏导数fy（x0，y0）表示曲面z=f（x，y）与平面x=x0相交所得的曲线
在点M0处的切线对y轴的斜率.
图7-7
4.二元函数连续与偏导数存在之间的关系
与一元函数的连续与可导的关系不同，二元函数的连续与偏导数存在之间无必然联系，即二元函数在某一点处的偏导数存在并不能保证函数在该点连续；反之，二元函数在某一点处连续也不能保证函数在该点处的偏导数存在.下面两例证实了这一结论.
【例6】 证明：函数
在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.
证明 
，同理可得fy（0，0）=0，即f（x，y）在点（0，0）处偏导数存在.
因极限
不存在，所以f（x，y）在点（0，0）处不连续.
例如，函数
在（0，0）处连续，但偏导数fx（0，0），fy（0，0）均不存在.证明从略.
7.2.2 高阶偏导数
设函数z=f（x，y）在区域D内具有偏导数
，则在D内，fx（x，y），fy（x，y）均为x，y的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们的偏导数是函数z=f（x，y）的二阶偏导数.按自变量求导次序的不同，可得到四个二阶偏导数，分别记作
其中， 
和 
称为f（x，y）的二阶混合偏导数.仿此可得三阶、四阶、……、n阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
【例7】 设z=x3y+3x2y3-xy+2，求
及
.
【例8】 设z=exy+x2siny，求函数z所有的二阶偏导数.
注意到上面两例中的两个二阶混合偏导数
和
均是相等的，这并不是偶然的.我们有下述定理：
定理7.1 如果函数z=f（x，y）的两个二阶混合偏导数
及
在区域D内连续，那么在该区域内，有
这就是说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求偏导数的次序无关.定理的证明从略.
对于二元以上的函数，我们可以类似地定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求偏导数的次序无关.例如，对于三元函数u=f（x，y，z），若三阶混合偏导数
与
均连续，则
.
【例9】 验证：函数
满足拉普拉斯方程
.
证明 由
，得
即 
.
证毕.
习题7-2
1.求下列函数的一阶偏导数：
（1）z=xy3+x3y； （2）z=lncos（x-2y）；
2.设
，求fx（1，0），fy（1，0）.
3.设
，求fx（x，1），fy（1，y）.
4.设
，验证：
.
5.求下列函数的
：
（1）z=x4+y4-2x2y2； （2）
； （3）z=yx.
6.设f（x，y，z）=xy2+yz2+zx2，求fxx（0，0，1），fzzx（2，0，1）.
7.设u=xln（xy），求
.
8.验证：函数
满足
.
9.由偏导数的几何意义，求曲线
在点
处的切线与y轴正向所成的倾斜角.
10.证明：函数
在（0，0）处连续，但偏导数fx（0，0），fy（0，0）均不存在.
11.设
，求fx（0，0），fy（0，0）.
*12.设
，求偏导数fx（x，y），fy（x，y）.