3.2 离散余弦变换

DFT变换是频谱分析的有力工具，但DFT变换是基于复数域的运算，因而给实际运算带来了不便。因此，工程上特别需要各种在实数域内的变换，DCT变换就是其中一种。DCT变换除了具有一般正交变换的性质之外，还具有许多突出的优点。DCT变换阵的基向量很近似于Toeplitz矩阵的特征向量，很好地体现了人类语音信号及图像信号的相关特性。因此，许多学者认为，在语音和图像信号处理方面，DCT变换被认为是准最佳变换。而且，DCT变换还可以通过实偶函数的傅里叶变换建立与FFT变换之间的关系。

DCT变换由Ahmed和Rao于1974年首先提出，随后就得到了广泛的应用，在许多领域，DCT变换被认为是一种准最佳变换。在近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都将DCT变换作为其中的一个基本处理模块。DCT变换除上述优点之外，还具有许多特点，如DCT为实数变换、变换矩阵确定（与变换对象无关）、具有多种快速算法，二维DCT还是一种可分离的变换等。

3.2.1 一维DCT变换

一维DCT的变换核定义为

式中

若f（x）（x=0，1，2，3，…，N—1）为N点离散序列，则一维DCT变换的定义为

式中，F（u）是第u个余弦变换系数；u是广义频率变量。

一维DCT逆变换定义为

根据式（3-65）和式（3-66）可以看出，一维DCT正变换与逆变换的核相同。与DFT变换一样，DCT变换也可以写成如下矩阵形式：

式中

3.2.2 二维DCT变换

一维DCT变换可以很方便地推广到二维DCT变换，设二维离散图像序列为{f（x，y）（x=0，1，…，M—1；y=0，1，…，N—1）}，则二维DCT正变换核为

其中，C（u）和C（v）的定义与式（3-64）相同。

二维DCT正变换为

二维DCT逆变换定义形式为

与一维DCT变换一样，二维DCT变换也可以写成如下矩阵形式：

根据式（3-69）和式（3-70）可以看出，二维DCT正变换与逆变换的核也相同，而且是可分离的，即可分离以后进行运算。

x，u=0，1，2，3，…，M—1；y，v=0，1，2，3，…，N—1

与DFT变换类似，根据可分离性原理，一次二维DCT变换可以通过二次一维DCT正变换完成。其算法流程如图3-6所示。

3.2.3 DCT变换的快速算法

DCT变换根据定义也可以直接进行计算，但计算量非常大，在实际应用中很不方便。目前，基于DCT的快速算法有许多种，由于FFT算法是一个应用广泛且非常成熟的快速算法，因此许多DCT算法也是基于FFT的原理建立起来的。具体步骤如下：

（1）将离散序列f（x）延拓为如下形式的2N点序列。

（2）根据一维DCT的定义，对延拓序列f1（x）进行DCT运算。

当u=0时

当u=1，2，3，…，N—1时，有

因此，DCT快速算法可以通过对延拓序列f1（x）进行FFT运算完成，即将N点的序列f（x）延拓为2N点的序列f1（x）后，对序列f1（x）进行FFT运算，再将结果乘以并取其实部，然后乘以就是DCT运算的结果。

对于DCT逆变换（又称为IDCT），也可以采取类似的方法进行快速运算。

（1）将离散序列F（u）延拓为如下形式的2N点序列。

（2）根据一维IDCT的定义，对延拓序列F1（u）进行IDCT运算，公式为

3.2.4 二维DCT的频谱分布

以图像傅里叶变换为基础，二维DCT的频谱特性比较好理解，现以一个DCT变换实例来分析其频谱分布。

例3-4：DCT变换实例

图3-7（a）为原始图像，图3-7（c）为原始图像旋转45°角的图像，图3-7（b）和图3-7（d）分别为图3-7（a）和图3-7（c）的DCT变换。对于DCT，频率（0，0）点对应于频谱原点（u=0，v=0），低频在左上角，高频在右下角，（M—1，N—1）点对应于高频成分；DCT低频系数值较大，高频系数值较小，即能量主要集中在低频，从左上角往右下角频率升高、能量降低。根据DCT变换原理，其运算相当于对带有中心偏移的实偶函数进行二维DFT运算，因此，DCT的频谱分布与DFT相差一倍。