2.5 小电流接地系统的模量分析

2.5.1 基于线路分布参数的高精度复合模网

对于三相系统，由于各相线路间存在电磁耦合即互感和分布电容的影响，直接在相域分析单相接地故障的暂态过程十分困难，因此，需要通过坐标变换，将相域系统变换为没有耦合的模域系统。

常用的对称分量变换（C.L.Fortescue福特斯库变换）用于分析暂态过程较为复杂，双轴变换（R.H.Park派克变换）主要用于分析对称故障，瞬时值对称分量变换的结果为复数，没有明确的物理意义，而克拉克（E.Clarke）变换在单相接地故障时不能获得简单的故障模型结构。下面采用Karrenbauer变换将三相系统变化为没有耦合的0、1、2模系统，其变换矩阵为

逆矩阵为

根据对称分量法的变换公式和相模变换公式，三相系统的零序分量与0模分量不仅参数和电气特征完全一致，其物理含义也相同，在叙述上对两者不加区分。

以A相接地为例，故障点的边界条件为

结合相电压与模电压、相电流与模电流关系，可以得到

小电流接地故障时，相当于在故障点附加一个与故障前电压幅值相等、极性相反的虚拟电压源，根据边界条件，可以得到图2-8所示的基于分布参数的故障分量等效电路。图中： uf为虚拟电源，等于故障点故障前的反相电压；Rf为接地电阻。

暂态过程由电感和电容之间的谐振产生，基于分布参数的故障模型含有多个谐振过程，暂态0模电流完整形式可表示为

式中：A为幅值；ω为角频率；α为初相角；δ为衰减因子。

2.5.2 基于π型电路的故障简化模型及特点

（1）阻抗并联的复合模网模型

对于图2-8所示的基于分布参数的复合模网模型，无法利用其来进行电气量的定量分析和计算，需要对其进行简化。

0、1、2模阻抗均由两部分阻抗并联而成，一部分为故障点看向母线的等效阻抗Zkb（k=0,1,2），一部分是从故障点看向负荷侧的等效阻抗Zkl（k=0,1,2），如图2-9所示。图中：Z0b、Z1b、Z2b为故障点上游0、1、2模阻抗；Z0l、Z1l、Z2l为故障点下游0、1、2模阻抗；i0b、i1b、i2b为故障点上游0、1、2模电流；i0l、i1l、i2l为故障点下游0、1、2模电流。

根据图2-9，故障点输入模阻抗为

（2）线模网络的简化

1、2模网络参数相同，分析过程中不加区别，参数均一致。从故障点看向母线方向的线模阻抗由故障点至母线段线路的线模阻抗、变压器线模阻抗、健全线路线模阻抗及健全线路负荷线模阻抗组成。1模网络结构示意图如图2-10所示。图中，Zf 1b、Zf 1l为由故障点至母线段、故障点至负荷段线路的线模阻抗；ZTA、ZTB为变压器阻抗；Zn11为健全线路1线模阻抗；Z1ld为负荷线模阻抗。

故障点的1模输入阻抗为

通常情况下，配电系统线路较短，一般在10km以内，因此，线路自身线模阻抗较小；而配电系统中每条线路的负荷都不大，因而其负荷阻抗值较大，配电系统负荷的线模阻抗值大约是线路线模阻抗的100倍，有

变压器的阻抗很小，远小于健全线路线模阻抗，

根据公式（2-30）、式（2-31）、式（2-32），从故障点向母线看去的线模等效阻抗主要为故障线路故障点到母线段线路的线模阻抗与变压器线模阻抗之和：

同时有

根据式（2-30），有

线路的线模电容和线模电阻很小，可以忽略其影响，线模阻抗可等效为

式中：L1b为故障点至母线段1模电感、LT为变压器电感。

根据上述线模阻抗的分析可以发现，线路中的线模电流主要分布在故障线路故障点至母线段，健全线路和故障线路故障点至负荷段线模电流很小，如图2-11所示。

（3）0模网络的简化

负荷的0模阻抗很大，可以看做开路。对于故障点上游0模阻抗，健全线路0模阻抗相互并联后再与故障点至母线段线路0模阻抗串联。对于0模网络，可以得到如图2-12所示的结构示意图。

图中：Zf 0b、Z0l为故障点至母线段、故障点至负荷段线路0模阻抗；Zn01、Zn02、Zn03为健全线路1、2、3的0模阻抗；LK为消弧线圈电感。

对于线路0模阻抗，可用π型电路进行等效。分别将故障点上游（包括健全线路）、下游的线路0模阻抗用π型电路进行等效后，得到基于π型电路的0模网络简化模型如图2-13所示。

图中：L0b、L0l为故障点上游线路（包括故障点至母线段及所有健全线路）、下游线路0模电感；C0b1、C0l1为故障点上游（包括故障点至母线段及所有健全线路）、下游线路0模电容；R0b、R0l为故障点上游（包括故障点至母线段及所有健全线路）、下游0模电阻。

对于0模电流，由于故障点两侧0模网络参数不同，两侧暂态0模电流波形相差较大。由于故障点两侧0模电压相同，故障点两侧0模电流含有相同频率的电流分量，但是由于两侧0模网络参数不同，两侧网络0模电流主谐振频率不同，在不同频率下的能量分布不同。

一典型接地故障时，故障点两侧暂态0模电流波形如图2-14所示，其频谱如图2-15所示。

（4）基于π型电路的故障简化模型

根据对线模网络和0模网络的简化，图2-8所示的基于分布参数的故障模型可以简化为如图2-16所示由线模电感和π型电路的故障简化模型。图中：Rf为接地电阻；Lk为消弧线圈电感；Lx为1、2模网络等效电感之和，数值上约为2(L12 )b+ LT。

（5）简化模型特点

图2-10所示的由线模电感和π型电路组成的简化模型是对基于零序网络模型的分析方法的改进和完善，与传统暂态分析方法相比：

① 充分考虑了三相线路之间的耦合。

② 考虑了线模网络的对暂态过程的影响。

③ 将故障点至母线段、故障点至负荷段以及健全线路分开讨论，根据线路自身特征建立模型。

④ 考虑了线路中的变压器、负荷等的影响。

⑤ 可以提供暂态0模、线模电流在线路中的分布特征，可以提取故障信息，用于故障检测。

⑥ 可以根据简化模型进行主要电气量的定量计算，进一步分析主谐振的产生机理。

2.5.3 小电流接地故障频域特征分析

（1）均匀传输线的传输方程及入端阻抗

将分布参数模型的均匀单相线路看做一个二端口网络，利用传输方程可以获得线路入端阻抗的表示形式，可进一步分析各种条件下入端阻抗特性。

末端带有负荷的均匀传输线，其分布参数模型可以表示如图2-17所示。图中：Ru、Lu分别为单位长度来回两根线的电阻、电感；Gu、Cu分别为单位长度来回两根线之间的电导和分布电容；、分别为入端电压和电流；、分别为末端电压和电流；ZL为末端负载阻抗。

对于距离入端距离为x的点的电压、电流，满足关系

式中： Zu= Ru+ ωj Lu，Yu= Gu+ ωj Cu。

进而，可推出、满足波动方程

式中：称为均匀传输线的传播常数。

求解波动方程，可得到入端和x点电压、电流之间的正弦稳态解：

式中： 称为均匀传输线路的波阻抗。

设均匀传输线长度为l，根据传输方程，其入端和末端电压、电流满足

考虑到末端（负荷）阻抗，则入端阻抗可以表示为

一段均匀传输线从两端看到的阻抗仅受负荷阻抗的影响。即在对端负荷阻抗相同的条件下，两端的入端阻抗是完全相同的。

（2）特征频段内故障0模网络模型

对故障分量0模网络中每条出线均采用分布参数模型，同时由于负荷的0模阻抗为无穷大，线路末端为开路状态。因此，一个有n条出线的系统，设故障点位于第i条出线，0模网络的故障模型可以表示为图2-18所示。图中：L0ku、R0ku、C0ku分别为第 k条出线单位长度线路的0模电感、电阻、分布电容；Dk为第k条出线检测点；LN=3Lk为消弧线圈0模等效电感；lk为出线k线路长度。对中性点不接地系统开关K1打开；对经消弧线圈接地系统开关K1闭合。

1）中性点不接地系统

① 健全线路和故障点至负荷段线路

对于健全线路和故障线路故障点下游的检测点，从检测点向负荷方向看，相当于末端开路的均匀传输线。末端开路时Zc=∞，则

由于Gu、Ru很小，可忽略

有

时，，阻抗成容性

时，，阻抗成感性

第一次串连谐振（第一次由容性变为感性）频率：

在0～ωos频段内，线路阻抗成容性，根据

得

在0到ωos低频段内，阻抗呈容性，且均匀传输线可以等效为一具有依频变化特性的集中参数电容。受线路电感影响，等效电容大于实际分布电容Cul，在0到ωos频带内随频率单调递增。当频率接近0时，等效电容趋于Cul；当频率接近ωos时，等效电容将趋于无穷大，如图2-19所示。

② 故障点至母线段线路

故障线路故障点至母线段线路的输入阻抗可看做由所有健全线路输入阻抗的并联然后与故障点至母线段线路串联而成，所有健全线路可以看做是该段线路的负荷。在所有健全线路第一次串联谐振频率之前，所有健全线路成容性，可等效为一集中参数电容，因此故障点至母线段线路在所有健全线路第一次串联谐振频率之前可以看做是带有容性负荷的均匀传输线。

设线路末端带有纯电容负荷C2，则入端阻抗为

其首次谐振为串联谐振，各个谐振频率之间不再等间隔。首次串联谐振频率ωcs应满足关系：

显然，ωcs＜ωos，在0～ωcs频段内所有健全线路成容性，可等效为集中参数电容，且在该频段内故障点至负荷段线路阻抗呈现纯容性，可以等效为集中参数电容C＇oc：

2）消弧线圈接地系统

① 健全线路和故障线路故障点至负荷段线路

消弧线圈接地系统中，健全线路和故障点至负荷段线路的频率特性与中性点不接地系统中的健全线路和故障点至负荷段线路的频率特性完全一样，不受消弧线圈的影响。在第一次串联谐振频率之前，所有线路入端阻抗成容性，可以等效为一集中参数电容。

② 故障线路故障点至母线段线路

消弧线圈接地系统中，故障点至母线段线路的输入阻抗与中性点不接地系统不同，受消弧线圈的影响，在低频段线路阻抗成感性。当暂态信号频率大于三次谐波（150Hz）时，可以忽略消弧线圈的影响，即从三次谐波到第一次串联谐振频率之间输入阻抗仍然呈现容性，在该频段内故障点至母线段线路可以等效为集中参数电容。

图2-20所示为消弧线圈接地系统中不同检测点输入阻抗频率特性，曲线1为位于健全线路上的检测点检测到的输入阻抗频率特性曲线，曲线2～5为故障线路故障点至母线区段上，离母线距离由近到远分布的各检测点检测到的输入阻抗频率特性曲线。

根据输入阻抗频率特性，选取沿线分布的所有检测点的输入阻抗均成容性的低频段作为特征频段（SFB）。该频段内，所有线路可以等效为集中参数电容，并且该频段内保留了暂态信号的绝大部分能量，保证了检测的可靠性和灵敏度。

对于中性点不接地系统，SFB频段可选为0到所有线路第一次串联谐振频率；对于消弧线圈接地系统，SFB可选为从三次谐波（150Hz）到所有线路第一次串联谐振频率。为兼顾中性点不接地系统和消弧线圈接地系统，SFB可选为从三次谐波到第一次串联谐振之间的频段。SFB频段内0模网络等效电路如图2-21所示。